《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，在 $□ ABCD$ 中，$CE\perp AD$ 于点 $E$，延长 $DA$ 至点 $F$，使得 $EF = DA$，连接 $BF$，$CF$。
(1)求证：四边形 $BCEF$ 是矩形。
(2)若 $AB = 3$，$CF = 4$，$DF = 5$，则 $EF=$$\frac{16}{5}$。

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC.
∵EF=DA,
∴EF=BC,EF//BC.
∴四边形 BCEF 是平行四边形.又
∵CE⊥AD,$\therefore ∠CEF=90^{\circ }$.
∴四边形 BCEF 是矩形.
(2)$\frac {16}{5}$

【例】如图所示，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 10$，点 $O$ 为对角线的交点，$BE = CF$，连接 $EF$，过点 $O$ 作 $OG\perp EF$ 交 $BC$ 边于点 $G$，点 $G$ 始终在 $BC$ 边上，并且不与点 $B$，$C$ 重合，连接 $OE$，$OF$，$EG$。
(1) 求证：$OE = OF$。
(2) 求 $\angle EOG$ 的度数。
(3) 求 $\triangle BEG$ 的周长。
(4) 若 $AE = AO$，请求出四边形 $BEOG$ 的面积。
【分析】(1) 利用正方形的性质证明 $\triangle EBO\cong\triangle FCO$，即可求证。
(2) 由 (1) 可知 $\triangle EBO\cong\triangle FCO$，故 $\angle BOE=\angle COF$，进而可得 $\angle EOF = 90^{\circ}$，根据 $OE = OF$，$OG\perp EF$ 得到 $OG$ 平分 $\angle EOF$，进而求解。
(3) 因为 $OG$ 垂直平分 $EF$，故 $EG = GF$，故 $\triangle BEG$ 的周长为 $BE + EG + BG = CF + GF + BG = BC$。
(4) 先求得 $\triangle OBG\cong\triangle OBE(ASA)$，可得 $EG$ 的长度，进而求解。
【解答】

答案： 解:
(1)
∵点 O 是正方形对角线交点,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°.在△EBO 和△FCO 中,$\left\{\begin{array}{l} OB=OC,\\ ∠OBE=∠OCF,\\ BE=CF,\end{array}\right. $
∴△EBO≌△FCO(SAS).
∴OE=OF.
(2)由
(1)可知,△EBO≌△FCO,
∴∠BOE=∠COF.
∴∠BOF+∠COF=∠BOF+∠BOE=90°.
∴∠EOF=90°.
∵OE=OF,OG⊥EF,
∴OG 垂直平分 EF,OG 平分∠EOF.
∴∠EOG=45°.
(3)
∵OG 垂直平分 EF,
∴EG=GF.
∴△BEG 的周长为 BE+EG+BG=CF+GF+BG=BC.
∵BC=AB=10,
∴△BEG 的周长为 10.
(4)设 EG,BO 相交于点 H,
∵AC=$\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=10\sqrt {2}$,
∴AO=$\frac {1}{2}$AC=$5\sqrt {2}$.
∵AE=AO,
∴BE=AB-AE=10-5$\sqrt {2}$.在△AOE 中,∠AOE=$\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠EAO)=67.5^{\circ }$,
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=22.5°.
∴∠BOG=∠EOG-∠BOE=22.5°.
∴OB 为∠EOG 的平分线.
∵BO 为∠EBG 的平分线,
∴∠OBG=∠OBE.
∴△OBG≌△OBE(ASA).
∴BG=BE,OG=OE.
∴OB⊥EG.在△EBG 中,EG=$\sqrt {BE^{2}+BG^{2}}=\sqrt {2}BE=10\sqrt {2}-10$.
∴$S_{四边形BEOG}=\frac {1}{2}HG\cdot OB+\frac {1}{2}HE\cdot OB$=$\frac {1}{2}EG\cdot OB=50-25\sqrt {2}$.