《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】已知二次函数$y = (2m - 1)x^{2} - (5m + 3)x + 3m + 5$。
（1）当$m$为何值时，此抛物线必与$x$轴相交于两个不同的点？
（2）当$m$为何值时，（1）中两个交点在原点的左右两边？
（3）当$m$为何值时，此抛物线的对称轴是$y$轴？
（4）是否存在实数$m$，使这个二次函数有最大值$-\frac{5}{4}$？
【分析】（1）若抛物线必与$x$轴相交于两个不同的点，则对于一元二次方程$(2m - 1)x^{2} - (5m + 3)x + 3m + 5 = 0$，$\Delta ＞ 0$，且$2m - 1 \neq 0$；
（2）若抛物线与$x$轴的两个交点在原点的左右两边，则需一元二次方程的两根之积为负数即可；
（3）若抛物线的对称轴是$y$轴，则只需满足二次函数的一次项系数为$0$即可；
（4）根据二次函数有最大值，得抛物线开口向下，再利用顶点坐标公式可以求解。
【解答】
【方法指导】二次函数的图象与$x$轴的交点个数问题，可以转化为对应的一元二次方程的根的个数问题；二次函数图象与$x$轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根；若二次函数图象与$x$轴只有一个交点，则这个交点就是抛物线的顶点；此外，若没有指明为二次函数，则需对二次项系数是否为零进行分类讨论。

答案： 解:
(1)根据题意,得Δ=(5m+3)²-4(2m-1)(3m+5)=m²+2m+29=(m+1)²+28＞0,且2m-1≠0,
∴当m≠$\frac{1}{2}$时,此抛物线必与x轴相交于两个不同的点.
(2)设一元二次方程(2m-1)x²-(5m+3)x+3m+5=0的两根分别为x₁,x₂,则x₁x₂=$\frac{3m+5}{2m-1}$＜0,
∴-$\frac{5}{3}$＜m＜$\frac{1}{2}$.
(3)根据题意,得5m+3=0,则m=-$\frac{3}{5}$.
(4)根据题意,得-$\frac{(m²+2m+29)}{4(2m-1)}$=-$\frac{5}{4}$,化简,得m²-8m+34=0,此方程无实数根,故不存在实数m,使这个二次函数有最大值-$\frac{5}{4}$.