《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】在如图所示的两个相似的五边形中，试求未知的边 $ x $，$ y $，$ z $ 的长度及角 $ \alpha $，$ \beta $ 的度数。

【解答】
【方法指导】利用相似多边形的性质求边长或角度，关键是找准“对应”关系，即确定对应边和对应角。

答案： 解：
∵两个五边形相似，
∴$\frac{1.2}{y}=\frac{2}{z}=\frac{4}{2}=\frac{1.25}{x}$，$\alpha=180^{\circ}×(5-2)-72^{\circ}-100^{\circ}-170^{\circ}-58^{\circ}=140^{\circ}$，$\beta=58^{\circ}$．
∴$x=0.625$，$y=0.6$，$z=1$．

【变式 1】图中的两个四边形相似，则 $ x + y = $63，$ \alpha = $85°。

答案： 63 85°

【例 2】如图，四边形 $ ABCD $ 的对角线相交于点 $ O $，$ A' $，$ B' $，$ C' $，$ D' $ 分别是 $ OA $，$ OB $，$ OC $，$ OD $ 的中点，试判断四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ A'B'C'D' $ 是否相似，并说明理由。

【解答】
【方法指导】判定两个多边形相似，必须具备的条件：①边数相等，且所有对应边的比相等；②所有对应角相等。上述条件缺一不可。

答案： 解：
∵$A'$，$B'$分别是$OA$，$OB$的中点，
∴$A'B'// AB$，$A'B'=\frac{1}{2}AB$．
∴$\angle OA'B'=\angle OAB$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$．同理，$\angle OA'D'=\angle OAD$，$\frac{A'D'}{AD}=\frac{1}{2}$．
∴$\angle B'A'D'=\angle BAD$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$．同理，$\angle A'D'C'=\angle ADC$，$\angle D'C'B'=\angle DCB$，$\angle C'B'A'=\angle CBA$，$\frac{A'D'}{AD}=\frac{D'C'}{DC}=\frac{B'C'}{BC}$．
∴四边形$ABCD\sim$四边形$A'B'C'D'$．

【变式 2】如图，一个木框，内外是两个矩形 $ ABCD $ 和 $ EFGH $，按图中所示尺寸，满足什么条件时，矩形 $ ABCD \sim $ 矩形 $ EFGH $？

答案： 解：
∵矩形$ABCD\sim$矩形$EFGH$时，
∴$\frac{AD}{EH}=\frac{CD}{GH}$，即$\frac{m}{m-2b}=\frac{n}{n-2a}$，整理，得$\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$．
∴当$\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$时，矩形$ABCD\sim$矩形$EFGH$．