《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $AD$ 上一点，连接 $EO$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，$CE$，$EF$ 平分 $\angle AEC$。
(1) 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形。
(2) 若 $\angle DAC = 60^{\circ}$，$EF = 4\sqrt{3}$，则四边形 $AFCE$ 的面积为8√3。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC,AO=CO.\therefore ∠AEF=∠CFE$.在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEO=∠CFO,\\ ∠AOE=∠COF,\\ AO=CO,\end{array}\right. \therefore \triangle AOE\cong \triangle COF(AAS).\therefore OE=OF.\because AO=CO$,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF平分$∠AEC,\therefore ∠AEF=∠CEF.\therefore ∠CFE=∠CEF.\therefore CF=CE$.
∴四边形AFCE是菱形.
(2)$8\sqrt{3}$

【例 1】 如图，在四边形 $ ABCD $ 中， $ \angle DAB = 90^{\circ} $， $ \angle DCB = 90^{\circ} $， $ E $， $ F $ 分别是 $ BD $， $ AC $ 的中点， $ AC = 6 $， $ BD = 10 $，则 $ EF $ 的长为 4.

【分析】 连接 $ AE $， $ CE $，由直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可证明 $ AE = CE $，进而可证明 $ \triangle AEC $ 是等腰三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出 $ EF $ 的长.
【模型归纳】

答案： 4

【变式 1】 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上， $ AB = AD $，点 $ E $， $ F $ 分别是 $ AC $， $ BD $ 的中点， $ EF = 3 $，则 $ AC $ 的长为 6.

答案： 6