《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】用适当的方法解方程：
（1）$ 4 x ^ { 2 } + 4 x - 63 = 0 $.（2）$ 2 x ^ { 2 } - 4 x = 5 - 8 x $.
（3）$ ( 5 x - 4 ) ^ { 2 } - ( 4 - 5 x ) = 0 $.
【分析】从结构上看，（1）适合用配方法，（2）适合用公式法，（3）可用因式分解法.
【解答】
【方法指导】求一元二次方程根的时候要注意观察式子的结构，然后决定选用何种解法最为合适，配方法与公式法适合所有一元二次方程.

答案： 解:
(1)$4x^{2}+4x+1=64$.$(2x+1)^{2}=8^{2}$.$2x+1=\pm 8$.$\therefore x_{1}=\dfrac{7}{2}$,$x_{2}=-\dfrac{9}{2}$.
(2)$2x^{2}+4x-5=0$,$\therefore a=2$,$b=4$,$c=-5$.$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=56$.$\therefore x=\dfrac{-4\pm \sqrt{56}}{2× 2}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$.$\therefore x_{1}=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}$.
(3)$(5x-4)[(5x-4)+1]=0$,$\therefore (5x-4)(5x-3)=0$.$\therefore x_{1}=\dfrac{4}{5}$,$x_{2}=\dfrac{3}{5}$.

【变式 1】方程 $ x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0 $ 的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是4或√34.

答案： 4或√34

【例 2】天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用 27 000 元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用 27 000 元，确定旅游的人数超过 25 人，然后根据每人的旅游费用 $ × $ 人数 $ = $ 总费用，设未知数，列出方程求解.
【解答】

答案： 解:设该单位这次共有$x$名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游,则人均费用为$[1000-20(x-25)]$元.由题意,得$x[1000-20(x-25)]=27000$.整理,得$x^{2}-75x+1350=0$,解得$x_{1}=45$,$x_{2}=30$.当$x=45$时,人均旅游费用为$1000-20(x-25)=600＜700$,不符合题意,舍去.当$x=30$时,人均旅游费用为$1000-20(x-25)=900＞700$,符合题意.
答:该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.

【变式 2】如图，将边长为 2 cm 的正方形 $ A B C D $ 沿其对角线 $ A C $ 剪开，再把 $ \triangle A B C $ 沿着 $ A D $ 方向平移，得到 $ \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } $. 若两个三角形重叠部分的面积为 $ 1 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } $，则它移动的距离 $ A A ^ { \prime } $ 为cm.

答案： 1