《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle A = 36^{\circ} $，$ CE $ 平分 $ \angle ACB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $.
(1) 求证：点 $ E $ 为线段 $ AB $ 的黄金分割点.
(2) 若 $ AB = 4 $，求 $ BC $ 的长.
【分析】 (1) 根据等腰三角形两底角相等求出 $ \angle ACB = 72^{\circ} $，再根据角平分线的定义求出 $ \angle BCE = 36^{\circ} $，从而得到 $ \angle BCE = \angle A $，然后判定 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle CBE $ 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可得证；(2) 根据等角对等边的性质可得 $ AE = CE = BC $，再根据黄金分割求解即可.
【解答】

【方法指导】 找黄金分割点的方法：
(1) 比例中项法：若 $ 长^{2} = 短 × 全 $，则对应点是整体的黄金分割点.
(2) 比值法：若 $ 短 : 长 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 或 $ 长 : 全 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，则对应点是整体的黄金分割点.
(3) 倍数法：若 $ 长 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 全 $ 或 $ 短 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 长 $，则对应点是整体的黄金分割点.
提示：一条线段的黄金分割点有两个.

答案：
(1)
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}×(180^{\circ}-36^{\circ})=72^{\circ}$.
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$.
∴∠ACE=∠BCE=∠A.
∴AE=EC,∠BEC=72°.又
∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△CBE.
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BE}$.
∴$BC^{2}=AB\cdot BE$.
∵∠BEC=∠B=72°,
∴EC=BC.
∴AE=BC.
∴$AE^{2}=AB\cdot BE$.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}$.
∴点 E 为线段 AB 的黄金分割点.
(2)由
(1)知,AE=EC=BC,$AE^{2}=AB\cdot BE$,即$AE^{2}=4(4-AE)$,解得 AE=$2\sqrt{5}-2$(负值舍去).
∴BC=$2\sqrt{5}-2$.

【变式 1】 某公司生产一种新型手杖，其长为 $ 1 $ m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ m. (注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号)

答案： $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

【变式 2】 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感. 如图所示的五角星中，$ AD = BC $，且 $ C $，$ D $ 两点都是 $ AB $ 的黄金分割点，若 $ CD = 1 $，则 $ AB $ 的长是 $2+\sqrt{5}$.

答案： $2+\sqrt{5}$