《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小。如图，当热气球升到某一位置时，小明从点 $ A$ 处测得热气球底部点 $ C$，中部点 $ D$ 的仰角分别为 $ 53°$ 和 $ 60°$，已知点 $ O$ 为热气球中心，$ EA \perp AB$，$ OB \perp AB$，$ OB \perp OD$，点 $ C$ 在 $ OB$ 上，$ AB = 30$ m，且点 $ E$，$ A$，$ B$，$ O$，$ D$ 在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（参考数据：$\sin53° \approx 0.8$，$\cos53° \approx 0.6$，$\tan53° \approx 1.3$，$\sqrt{3} \approx 1.7$，结果精确到 $ 1$ m）

答案： 解:过点E作EF⊥OB于点F,过点D作DG⊥EF于点G.在Rt△CEF中,CF=EF·tan53°=AB·tan53°≈30×1.3=39(m).在Rt△DEG中,DG=EG·tan60°=$\sqrt{3}$EG.设热气球的直径为x米,则39+$\frac{1}{2}$x=$\sqrt{3}$(30-$\frac{1}{2}$x),解得x≈9.
答:热气球的直径约为9 m.

【例】某地的一座人行天桥如图所示，天桥的高为 6 米，坡面 $ BC $ 的坡度为 $ 1:1 $，文化墙 $ PM $ 在天桥底部正前方 8 米（$ PB $ 的长）处，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $ 1:\sqrt{3} $（参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.732 $，$ \sqrt{2} \approx 1.414 $）。
（1）若新坡面坡角为 $ \alpha $，求坡角 $ \alpha $ 的度数；
（2）有关部门决定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 $ PM $ 是否需要拆除？请说明理由。
【分析】（1）根据“坡度 = 坡角的正切”计算即可。
（2）过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，根据坡度的概念分别求出 $ AD $，$ BD $，计算即可。
【解答】

答案： 解:
(1)
∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1:√3,
∴tanα=1/√3=√3/3.
∴α=30°.
(2)该文化墙 PM 不需要拆除.理由如下:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 CD=6 米.
∵新坡面的坡度为1:√3,
∴6/AD=1/√3,解得 AD=6√3.
∵坡面 BC 的坡度为1:1,CD=6 米,
∴BD=CD=6 米.
∴AB=AD-BD=(6√3-6)米.
∵PB=8 米,
∴PA=PB-AB=8-(6√3-6)=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6(米)＞3 米.
∴该文化墙 PM 不需要拆除.