《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 25$，$BC = 40$，$AC = 20$，在$\triangle ADE$中，$AE = 12$，$AD = 15$，$DE = 24$，求证：$\triangle ADB \backsim \triangle AEC$。
【分析】在$\triangle ABC$中，$AB = 25$，$BC = 40$，$AC = 20$，在$\triangle ADE$中，$AE = 12$，$AD = 15$，$DE = 24$，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证明$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$，从而可得$\angle DAB = \angle EAC$，继而证明$\triangle ADB \backsim \triangle AEC$。
【解答】

【方法指导】利用判定定理 3 证明两个三角形相似的“三个步骤”：① 排序：将三角形的三边按大小顺序排列；② 计算：分别计算他们对应边的比值；③ 判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否相似。

答案：
∵在△ABC中，AB=25，BC=40，AC=20，在△ADE中，AE=12，AD=15，DE=24，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{5}{3}$.
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠DAB=∠EAC.
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}$，
∴△ADB∽△AEC.

【变式】如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$AD = 2BD$，$AE = 2CE$，$\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3}$，求证：$\triangle ABC$与$\triangle ADE$相似。

答案：
∵AD=2BD，AE=2CE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
∴△ADE∽△ABC.