《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90° $，$ BC = AC $，$ D $ 为 $ AC $ 的中点，求 $ \tan \angle ABD $ 的值。
【分析】 由题知，$ \triangle ABD $ 不是直角三角形，而求正切需要在直角三角形中，故要作 $ DE \perp AB $ 于点 $ D $ 构造直角三角形，然后利用勾股定理计算出 $ DE $，$ BE $ 的长，进而利用正切定义求解。
【解答】

【方法指导】 构造直角三角形求锐角的正切值的方法：在斜三角形中不能直接用正切的定义求锐角的正切值，需要将斜三角形转化成直角三角形，通常都是作高将要求正切值的锐角放在直角三角形中求解。

答案： 作$DE\perp AB$于点$E$。
设$AC = BC = 2a$。
因为$D$为$AC$中点，所以$CD = AD = a$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2a$，
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}} = 2\sqrt{2}a$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以$\angle A = 45^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle AED = 90^{\circ}$，$AD = a$，
则$AE = DE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
所以$BE=AB - AE=2\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$。
综上，$\tan\angle ABD$的值为$\frac{1}{3}$。

【变式】 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 6 $，$ S_{\triangle ABC} = 12 $，则 $ \tan B = $ √3/3。

答案： √3/3