《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图，在$□ ABCD$中，$AE:EB = 1:2$。
(1)求$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的周长之比。
(2)如果$S_{\triangle AEF} = 6\mathrm{cm}^2$，求$S_{\triangle CDF}$的值。
【分析】(1)由平行四边形的性质可得$CD = AB$，$AB// CD$，从而有$AE:CD = 1:3$，$\angle AEF = \angle CDF$，$\angle EAF = \angle FCD$，则有$\triangle AEF\backsim\triangle CDF$，利用相似三角形的周长之比等于相似比即可求解；(2)利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解。
【解答】

答案： 解:
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB=CD,DC//AB.
∴∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠FCD.
∴△AEF∽△CDF.
∵ AE∶EB=1∶2,
∴AE∶AB=AE∶CD=1∶3.
∴△AEF 与△CDF 的周长之比为1∶3.
(2)
∵△AEF∽△CDF,AE∶CD=1∶3,
∴S△AEF∶S△CDF=1∶9.
∵S△AEF=6 cm²,
∴S△CDF=54 cm².

【变式 1】如图，$E$是$□ ABCD$的边$AD$上的一点，且$\frac{DE}{AE} = \frac{1}{2}$，连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$。若$DE = 3$，$DF = 4$，则$□ ABCD$的周长为34。

答案： 34

【变式 2】如图，在$\triangle ABC$中，$CE\perp AB$，$BF\perp AC$。若$\angle A = 60°$，$S_{\triangle AEF} = 2$，则$S_{\triangle ABC} =$8。

答案： 8