《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图，矩形 $ABCD$ 的长 $AD = 5\mathrm{cm}$，宽 $AB = 3\mathrm{cm}$，长和宽都增加 $x\mathrm{cm}$，那么面积增加 $y\mathrm{cm}^2$。
(1)写出 $y$ 与 $x$ 的函数表达式。
(2)当 $y = 20$ 时，求相应的 $x$ 的值。
【分析】(1)根据等量关系“增加的面积 $y =$ 长和宽增加后的矩形的面积 $ -$ 原来矩形的面积”列出函数表达式；
(2)把 $y = 20$ 代入(1)中的函数表达式即可求解。
【解答】

答案：
(1)由题意,得$y=(5+x)(3+x)-3×5$,化简,得$y=x^{2}+8x.$
(2)把$y=20$代入$y=x^{2}+8x$,得$x^{2}+8x-20=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-10$(舍去).$\therefore x=20.$

【变式】某商品的进价为每件 $30$ 元，现在的售价为每件 $40$ 元，每星期可卖出 $150$ 件。市场调查反映：如果每件的售价每涨 $1$ 元（售价每件不能高于 $45$ 元），那么每星期少卖 $10$ 件。设每件涨价 $x$ 元（$x$ 为非负整数），每星期的销量为 $y$ 件。
(1)求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式及自变量 $x$ 的取值范围。
(2)设利润为 $W$ 元，写出 $W$ 与 $x$ 的函数关系式。

答案：
(1)$y=150-10x(0≤x≤5$且x为整数).
(2)$W=(x+40-30)×(150-10x)=-10x^{2}+50x+1500.$