《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，$E$ 为菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 延长线上一点，连接 $AE$，$CE$。
(1)求证：$AE = CE$。
(2)若 $BC = 10$，$AE = 13$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，则 $BE=$ 5√3 + 12。

答案： 【变式】 解:
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=CB,∠ABE=∠CBE.在△ABE 和△CBE 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=CE.
(2)5√3 + 12

【例】如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，点$M$，$N$在对角线$AC$上，且$AM = CN$。
（1）求证：四边形$EMFN$是平行四边形。
（2）若$AB\perp AC$，求证：四边形$EMFN$是菱形。
【分析】（1）证$\triangle AEM\cong\triangle CFN$（$SAS$），得$EM = FN$，$\angle AME = \angle CNF$，则$\angle EMN = \angle FNM$，证出$EM// FN$，即可得出结论。
（2）连接$EF$交$AC$于点$O$，先证四边形$AEFB$是平行四边形，再证$EF\perp MN$，即可得出四边形$EMFN$是菱形。
【解答】

【方法指导】（1）若已知待证的菱形的对角线互相垂直，则可考虑先证明该四边形是平行四边形；（2）若待证的菱形中有多条线段相等，则可考虑通过菱形的定义或四条边相等证明该四边形是菱形。

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC.
∴∠EAM=∠FCN.
∵E,F分别为AD,BC的中点,
∴AE=DE=BF=CF.在△AEM和△CFN中,$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠EAM=∠FCN,\\ AM=CN,\end{array}\right. $
∴△AEM≌△CFN(SAS).
∴EM=FN,∠AME=∠CNF.
∴∠EMN=∠FNM.
∴EM//FN.
∴四边形EMFN是平行四边形.
(2)连接EF交AC于点O,由
(1)得AE//BF,AE=BF,
∴四边形AEFB是平行四边形.
∴AB//EF.
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
∴∠COF=∠BAC=90°.
∴EF⊥MN.
∴四边形EMFN是菱形.