《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 1】对于抛物线 $ y = -4x + x^2 - 7 $，有下列说法：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线 $ x = 2 $；③顶点坐标为 $ (2, -3) $；④点 $ (-\frac{1}{2}, -9) $ 在抛物线上。其中正确的是①②。(填序号)

答案： ①②

【变式 2】将抛物线 $ y = x^2 - 4x - 4 $ 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，所得抛物线的表达式是y=x²-10x+19。

答案： y=x²-10x+19

【例 2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图象与坐标轴交于 $ A $，$ B $，$ C $ 三点，其中点 $ B $ 的坐标为 $ (1, 0) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 4) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (0, 2) $，点 $ P $ 为二次函数图象上的动点。
(1) 求二次函数的表达式和直线 $ AD $ 的表达式。
(2) 当点 $ P $ 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接 $ AD $，$ AP $，以 $ AD $，$ AP $ 为邻边作 $ □ APED $，设 $ □ APED $ 的面积为 $ S $，求 $ S $ 的最大值。
【分析】(1) 将 $ B(1, 0) $，$ C(0, 4) $ 代入 $ y = -x^2 + bx + c $ 中，即可求得抛物线的表达式；将点 $ A $ 与点 $ D $ 的坐标代入 $ y = kx + m $，即可求直线 $ AD $ 的表达式；
(2) 连接 $ PD $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线交 $ x $ 轴于点 $ H $，交 $ AD $ 于点 $ G $，当 $ S_{\triangle PAD} $ 的面积最大时，$ □ APED $ 的面积最大。设 $ P(t, -t^2 - 3t + 4) $，则 $ G(t, \frac{1}{2}t + 2) $，用含 $ t $ 的代数式表示出 $ S $，并用函数的性质求出 $ S $ 的最大值。

【解答】

答案： 解：
(1)将B(1,0),C(0,4)代入y=-x²+bx+c中，得{-1+b+c=0,c=4,解得{b=-3,c=4,
∴二次函数的表达式为y=-x²-3x+4.令y=0,则x=1或x=-4.
∴A(-4,0).设直线AD的表达式为y=kx+m,将A(-4,0),D(0,2)代入,得{-4k+m=0,m=2,解得{k=1/2,m=2,
∴直线AD的表达式为y=1/2x+2.
(2)连接PD,过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交AD于点G,
∵四边形APED是平行四边形,
∴S△PAD=S△PED.
∴当S△PAD的面积最大,□APED的面积最大.设P(t,-t²-3t+4),则G(t,1/2t+2).
∴PG=-t²-3t+4-1/2t-2=-t²-7/2t+2=-(t+7/4)²+81/16,
∴S=2×1/2×(-t²-7/2t+2)×4=-4(t+7/4)²+81.
∴当t=-7/4时,S最大，S的最大值为81/4.

【变式 3】如图，抛物线 $ y = -x^2 + x + 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点。
(1) 已知点 $ D(m, m + 1) $ 在第一象限的抛物线上，则点 $ D $ 的坐标是(1,2)。
(2) 在(1)的条件下，连接 $ BD $，$ P $ 为抛物线上一点，且 $ \angle DBP = 135^{\circ} $，则点 $ P $ 的坐标是(-4,-18)。

答案：
(1)(1,2)
(2)(-4,-18)