《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 2】 如图，矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $， $ BD $ 相交于点 $ O $，点 $ E $， $ F $ 在 $ BD $ 上， $ BE = DF $.
(1) 求证： $ AE = CF $.
(2) 若 $ AB = 4 $， $ \angle AOB = 60^{\circ} $，求矩形 $ ABCD $ 的面积.
【分析】 (1) 由矩形的性质得出 $ AC = BD $， $ OA = OC $， $ OB = OD $， $ \angle ABC = 90^{\circ} $，得出 $ OE = OF $，得到四边形 $ AECF $ 是平行四边形，即可得出 $ AE = CF $.
(2) $ \triangle AOB $ 是等边三角形，得出 $ OA = AB = 4 $， $ AC = 2OA = 8 $，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，由勾股定理求出 $ BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = 4\sqrt{3} $，即可得出矩形 $ ABCD $ 的面积.
【解答】

【方法指导】 矩形的性质的应用：因为矩形的两条对角线相等且互相平分，所以它将矩形分成了四个等腰三角形，再由一些特殊角得到特殊三角形，利用特殊三角形的性质求解.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°．
∵BE=DF，
∴OE=OF．连接AF，CE，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE=CF．
(2)
∵AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB．又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴OA=AB=4．
∴AC=2OA=8．在Rt△ABC中，BC=√(AC²-AB²)=4√3，
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=4×4√3=16√3．

【变式 2】 如图，矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $， $ BD $ 相交于点 $ O $，延长 $ CD $ 到点 $ E $，使 $ DE = CD $，连接 $ AE $.
(1) 求证：四边形 $ ABDE $ 是平行四边形.
(2) 连接 $ OE $，若 $ AD = 4 $， $ AB = 2 $，则 $ OE = $ √13.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD．
∵DE=CD，
∴DE=AB．
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)√13

【例】如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，连接$DE$并延长至点$F$，使得$DE = EF$，连接$CF$。
（1）求证：四边形$ADFC$是平行四边形。
（2）若$\angle A = \angle ABC$，连接$CD$，$BF$，求证：四边形$BFCD$是矩形。
【分析】（1）由三角形中位线定理得$DE = \frac{1}{2}AC$，$DE // AC$，再证$DF = DE + EF = AC$，即可得出结论。
（2）先证四边形$BFCD$是平行四边形，再证$AC = BC$，然后由等腰三角形的性质得$CD \perp AB$，则$\angle CDB = 90°$，即可得出结论。
【解答】

【方法指导】从角的角度判定矩形的方法有两种：①利用矩形的定义判定；②直接证明四个角中含有三个直角。从对角线的角度判定矩形，先证明四边形为平行四边形，再证明对角线相等。

答案： 解:
(1)
∵D,E 分别是 AB,BC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线.
∴$DE=\frac {1}{2}AC,DE// AC$.又$\because DE=EF,\therefore DF=DE+EF=2DE=AC$.
∴四边形 ADFC 是平行四边形.
(2)由
(1),得四边形 ADFC 是平行四边形,
∴$CF// AD,CF=AD$.又
∵D 是 AB 的中点,$\therefore AD=BD.\therefore CF=BD$.
∴四边形 BCFD 是平行四边形.
∵∠A=∠ABC,
∴AC=BC.
∵D 是 AB 的中点,$\therefore CD⊥AB.\therefore ∠CDB=90^{\circ }$.
∴四边形 BCFD 是矩形.