《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】
若 $ a $ 是方程 $ x² - 2023x + 1 = 0 $ 的一个根，求代数式 $ a² - 2024a + \frac{a² + 1}{2023} $ 的值。
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到 $ a² = 2023a - 1 $，然后利用整体代入的方法计算。
【解答】

答案： 解：
∵a是方程$x^{2}-2023x+1=0$的一个根，
∴$a^{2}-2023a+1=0$.
∴$a^{2}=2023a-1$.
∴$a^{2}-2024a+\frac{a^{2}+1}{2023}=2023a-1-2024a+\frac{2023a-1+1}{2023}=-a-1+a=-1$.

【变式 1】
若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax² + bx + 5 = 0(a ≠ 0) $ 的一个解是 $ x = 1 $，则 $ 2021 - a - b $ 的值是2026。

答案： 2026

【例 2】
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？根据题意，列出方程，化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项和常数项。
【分析】
设每千克水果应涨价 $ x $ 元，得出日销售量将减少 $ 20x $ 千克，由等量关系“盈利额 = 每千克盈利 × 日销售量”列出方程，后化为一般形式即可。
【解答】

答案： 解：设每千克涨价x元.根据题意，得$(10+x)(500-20x)=6000$，整理，得$x^{2}-15x+50=0$，其中二次项系数为1，一次项为$-15x$，常数项为50.

【变式 2】
胜利中学会议室内的会议桌是长方形的，长 1.6 米，宽 1 米，学校准备制作一块桌布，面积是桌面的 2 倍，且使桌面四周垂下的边等宽。若设四周垂下的边为 $ x $ 米，则应列得的方程为$(1.6+2x)(1+2x)=2×1.6×1$，化成一般形式为$4x^{2}+5.2x-1.6=0$。

答案： $(1.6+2x)(1+2x)=2×1.6×1$ $4x^{2}+5.2x-1.6=0$