《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}+k - 1 = 0$ 有实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 若此方程的两实数根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=11$，求 $k$ 的值.
【分析】(1) 根据方程有实数根，得 $\Delta\geq0$，即 $[-(2k - 1)]^{2}-4×1×(k^{2}+k - 1)\geq0$，解这个不等式，即可求得 $k$ 的取值范围；
(2) 利用根与系数的关系可以将 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 分别用含 $k$ 的代数式表示，再由 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，代入可得到关于 $k$ 的方程，解方程求得 $k$ 的值，注意利用根的判别式进行取舍.
【解答】

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k-1)x+k^{2}+k-1=0$有实数根，
∴$\Delta \geq 0$，即$[-(2k-1)]^{2}-4× 1× (k^{2}+k-1)=-8k+5\geq 0$，解得$k\leq \frac{5}{8}$.
(2)由根与系数的关系可得$x_{1}+x_{2}=2k-1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+k-1$，
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2k-1)^{2}-2(k^{2}+k-1)=2k^{2}-6k+3$.
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=11$，
∴$2k^{2}-6k+3=11$，解得$k_{1}=4$，$k_{2}=-1$.
∵$k\leq \frac{5}{8}$，
∴$k=-1$.

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x+\frac{1}{2}k^{2}-2 = 0$.
(1) 求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2) 若方程的两个实数根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}-x_{2}=3$，则 $k=$ 0或-2.

答案：
(1)证明：
∵$\Delta =[-(2k+1)]^{2}-4× 1× (\frac{1}{2}k^{2}-2)=4k^{2}+4k+1-2k^{2}+8=2k^{2}+4k+9=2(k+1)^{2}+7＞0$，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)0或-2