《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $。若 $ \sin A = \frac{12}{13} $，求 $ \cos A $，$ \sin B $，$ \tan B $ 的值。
【分析】已知锐角的正弦值就相当于知道了锐角的对边与斜边的比，采用设未知数的方法，根据勾股定理可以求出另一直角边，由此可以求出答案。
【解答】

【方法指导】在直角三角形中，已知一个角的某个三角函数值，利用其值设比例系数 $ k $，把某些线段用含 $ k $ 的代数式表示，再结合已知条件可以求出这个角的其他三角函数值，这是这类题目的常用解法。

答案： 解:在 Rt△ABC 中,
∵sinA=12/13=BC/AB,
∴设 AB=13x,BC=12x.由勾股定理,得 AC=√(AB²-BC²)=√((13x)²-(12x)²)=5x.
∴cosA=AC/AB=5/13,sinB=AC/AB=5/13,tanB=AC/BC=5/12.

【变式】已知 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \tan A = \frac{1}{2} $，求 $ \sin A $，$ \cos A $，$ \sin B $，$ \cos B $，$ \tan B $ 的值。

答案： 解:在 Rt△ABC 中,
∵tanA=BC/AC=1/2,
∴设 BC=x,AC=2x.由勾股定理,得 AB=√(AC²+BC²)=√5 x.
∴sinA=√5/5,cosA=2√5/5,sinB=2√5/5,cosB=√5/5,tanB=2.

【例】计算：
（1）$\cos 60^{\circ}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 45^{\circ}+\sqrt{3}\tan 30^{\circ}$。
（2）$\sqrt{\sin^{2}60^{\circ}-2\sin 60^{\circ}+1}-\vert 1 - \tan 60^{\circ}\vert$。
【解答】

答案： 解:
(1)原式=2.
(2)原式=2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.