《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】 如图所示，杨大爷准备修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长 $ 13 $ m，另外三面用 $ 27 $ m 长的建筑材料围成，其中一边开有一扇 $ 1 $ m 宽的门（不包括建筑材料）。
（1）当所围矩形猪舍的边 $ AB $ 长为多少时，猪舍面积为 $ 90 $ $ m^{2} $？

（2）当所围矩形猪舍的边 $ AB $ 长为多少时（$ AB $ 为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

答案： 解：
(1)设$AB=x\ m$，则$BC=27+1-2x=(28-2x)\ m$，由题意，得$x(28-2x)=90$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=9$．当$x=5$时，$28-2x=28-10=18＞13$，不合题意，舍去；当$x=9$时，$28-2x=28-18=10＜13$，符合题意．$\therefore AB=9\ m$．$\therefore$所围矩形猪舍的边$AB$长为$9\ m$时，猪舍面积为$90\ m^{2}$．
(2)由题意，得$S=x(28-2x)=-2x^{2}+28x=-2(x-7)^{2}+98$，$\because 28-2x\leqslant 13$，$\therefore x\geqslant 7.5$．$\because -2＜0$，$x$为整数，$\therefore$当$x=8$时，$S$取最大值，$S_{最大}=96$．答：当所围矩形猪舍的边$AB$长为$8\ m$时，猪舍面积最大，最大面积是$96\ m^{2}$．

【例】某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板 $AB$ 长为 $2$ 米，跳板距水面 $CD$ 的高 $BC$ 为 $3$ 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离 $1$ 米时达到距水面最大高度 $k$ 米，现以 $CD$ 为横轴、$CB$ 为纵轴建立平面直角坐标系。
（1）当 $k = 4$ 时，求这条抛物线的表达式。
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点 $C$ 的距离。
（3）图中 $CE=\frac{9}{2}$ 米，$CF = 5$ 米，若跳水运动员在区域 $EF$ 内（含点 $E$，$F$）入水时才能达到训练要求，求 $k$ 的取值范围。

【分析】（1）根据抛物线顶点坐标 $M(3,4)$，可设抛物线表达式为 $y = a(x - 3)^2 + 4$，将 $A(2,3)$ 代入可得；（2）在（1）中函数表达式中令 $y = 0$，求出 $x$ 即可；（3）若跳水运动员在区域 $EF$ 内（含点 $E$，$F$）入水达到训练要求，则在函数 $y = a(x - 3)^2 + k$ 中当 $x=\frac{9}{2}$ 米，$y\geqslant0$，当 $x = 5$ 米时 $y\leqslant0$，解不等式即可得。
【解答】
【方法指导】利用二次函数解决运动轨迹类或拱桥、隧道类实际问题的步骤：①若未给出平面直角坐标系，则先建立恰当的平面直角坐标系；②将已知条件转化为点的坐标；③合理设出所求函数表达式；④代入已知条件或点的坐标求出函数表达式；⑤利用函数表达式解决实际问题。

答案：
(1)根据题意，得抛物线顶点坐标为 M(3,4)，A(2,3)，设抛物线表达式为 $ y=a(x-3)^2+4 $，则 $ 3=a(2-3)^2+4 $，解得 $ a=-1 $。故抛物线表达式为 $ y=-(x-3)^2+4(2\leqslant x\leqslant 5) $。
(2)当 $ y=0 $，则 $ 0=-(x-3)^2+4 $，解得 $ x_1=1 $，$ x_2=5 $。故抛物线与 x 轴的交点坐标为 (5,0)，(1,0)，
∴运动员落水点与点 C 的距离为 5 米。
(3)根据题意得，抛物线表达式为 $ y=a(x-3)^2+k $，将点 A(2,3)代入，得 $ a+k=3 $，即 $ a=3-k $。若跳水运动员在区域 EF 内（含点 E，F）入水，则当 $ x=\frac{9}{2} $ 时，$ y=\frac{9}{4}a+k\geqslant 0 $，即 $ \frac{9}{4}(3-k)+k\geqslant 0 $，解得 $ k\leqslant \frac{27}{5} $；当 $ x=5 $ 时，$ y=4a+k\leqslant 0 $，即 $ 4(3-k)+k\leqslant 0 $，解得 $ k\geqslant 4 $。故 k 的取值范围为 $ 4\leqslant k\leqslant \frac{27}{5} $。