《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】解方程：
(1)$2x^{2}-2x = 0$.
(2)$(x - 3)(x + 1) = 3 - x$.
(3)$2(x - 2)^{2} = x^{2} - 4$.
(4)$(x - 4)^{2} = 4(5 - 2x)^{2}$.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，首先要观察方程的结构，看适合用哪种方法分解，分解时要严格按照先提公因式，后用公式（平方差公式或完全平方公式）分解成两个一次因式之积为 0 的形式，然后分别令两个一次因式为 0，从而方程得解.
【解答】
【方法指导】因式分解法解方程的方法与步骤：①将方程的右边化为 0；②将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积，方程变形成为$(ax + b)(cx + d) = 0$的形式；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，即$ax + b = 0$，$cx + d = 0$；④解这两个一元一次方程，即得原方程的两根.

答案：
(1)
∵2x(x-1)=0，
∴x₁=0，x₂=1.
(2)
∵(x-3)(x+1)+(x-3)=0，
∴(x-3)(x+2)=0，
∴x₁=3，x₂=-2.
(3)
∵2(x-2)²-(x-2)(x+2)=0，
∴(x-2)[2(x-2)-(x+2)]=0.
∴(x-2)(x-6)=0.
∴x₁=2，x₂=6.
(4)
∵(x-4)²-4(5-2x)²=0，
∴[(x-4)+2(5-2x)][(x-4)-2(5-2x)]=0.
∴(6-3x)(5x-14)=0.
∴x₁=2，x₂=14/5.

【变式】用因式分解法解下列方程：
(1)$(x + 3)(x + 1) = 6x + 2$.
(2)$(2x - 1)^{2} - (x + 1)^{2} = 0$.

答案：
(1)整理，得x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，
∴x₁=x₂=1.
(2)分解因式，得[(2x-1)+(x+1)][(2x-1)-(x+1)]=0，
∴3x(x-2)=0.
∴x₁=0，x₂=2.