《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，小明和小强采取的摸取方法分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号.
（1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果.
（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于 5 的概率.
【解答】
【方法指导】用树状图或表格求试验对象单一的两步试验概率时，需要注意“放回”与“不放回”的区别，“放回”与“不放回”直接影响第二次等可能事件的结果数. 注意，“一次拿两个”与“不放回”本质上是同一种类型.

答案：
(1)树状图略.小明共有16种等可能的摸球结果.小强共有12种等可能的摸球结果.
(2)
∵小明两次摸球的标号之和等于5的有4种可能，小强两次摸球的标号之和等于5的有4种可能，
∴P(小明两次摸球的标号之和等于5)=$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，P(小强两次摸球的标号之和等于5)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

【变式 1】在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年级一班有甲、乙、丙、丁共 4 名学生获奖. 班主任决定在这 4 名获奖学生中随机选出 2 名学生在班级进行主题演讲，则甲被选中的概率为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

【变式 2】现有三张正面分别标有数字$-1$，1，$-2$的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀后，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为$m$，$n$，则点$P(m,n)$在第三象限的概率为$\frac{4}{9}$.

答案： $\frac{4}{9}$