《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 1】学校生物兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，他们沿着前进路线铺了若干木板，构筑成一条临时近道，木板对地面的压强 $ p $(Pa)是木板面积 $ S $($ m^2 $)的反比例函数，其图象如图所示，则当木板面积为 $ 0.5 \ m^2 $ 时，木板对地面的压强为 1 600 Pa.

答案： 1 600

【例 2】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到 $ 800 \ ^{\circ}C $，然后停止煅烧进行锻造操作. 从开始煅烧时计时，第 $ 8 $ min 时，材料温度降为 $ 600 \ ^{\circ}C $. 煅烧时，温度 $ y $（$ ^{\circ}C $）与时间 $ x $（min）成一次函数关系；锻造时，温度 $ y $（$ ^{\circ}C $）与时间 $ x $（min）成反比例函数关系（如图）. 已知该材料初始温度是 $ 32 \ ^{\circ}C $.
（1）分别求出材料煅烧和锻造时 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式，并且写出自变量 $ x $ 的取值范围.
（2）根据工艺要求，当材料温度低于 $ 480 \ ^{\circ}C $ 时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
【分析】（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度 $ y $ 与时间 $ x $ 成一次函数关系；锻造操作时，温度 $ y $ 与时间 $ x $ 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）把 $ y = 400 $ 代入 $ y = \frac{4800}{x} $ 中，进一步求解可得答案.
【解答】

【方法指导】解决反比例函数与一次函数综合的应用题时，求函数表达式要把握分界点；在求函数值对应自变量的值时，注意代入两个函数表达式求解.

答案： 解:
(1)材料锻造时,设y与x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$,由题意,得$600=\frac{k}{8}$,解得$k=4\ 800$,$\therefore y=\frac{4\ 800}{x}$.当$y=800$时,解得$x=6$,$\therefore$点B的坐标为$(6,800)$.材料煅烧时,设y与x的函数关系式为$y=ax+32(a\neq0)$,由题意,得$800=6a+32$,解得$a=128$.$\therefore$材料煅烧时,y与x的函数关系式为$y=128x+32(0\leqslant x\leqslant6)$,材料锻造时,y与x的函数关系式为$y=\frac{4\ 800}{x}(x＞6)$.
(2)把$y=480$代入$y=\frac{4\ 800}{x}$,得$x=10$,$10-6=4(\min)$,故锻造的操作时间为$4\ \min$.

【变式 2】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 $ 2020 $ 年 $ 1 $ 月开始限产进行治污改造，其月利润 $ y $(万元)与月份 $ x $(月)之间的变化关系如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，则 $ 4 $ 月份的利润为 50 万元，$ 9 $ 月份的利润为 200 万元.

答案： 50 200