《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

$【$例$】$如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°，$$AB = 20\ cm，$$AC = 15\ cm，$在这个直角三角形内有一个内接正方形$EFGH，$正方形的一边$FG$在$BC$上，另两个顶点$E，$$H$分别在边$AB，$$AC$上$.$　　
$(1)$求$BC$边上的高$.$　　
$(2)$求正方形$EFGH$的边长$.$　　
$【$分析$】(1)$由勾股定理求出$BC = 25\ cm，$再由三角形面积即可得出答案；$(2)$设正方形边长为$x，$证明$\triangle AEH \sim \triangle ABC，$得出比例式，进而得出答案$.$　　
$【$解答$】$　　

答案： 解:
(1)过点A作AD⊥BC于点D,交EH于点O,在Rt△ABC中,BC=√(AB²+AC²)=√(20²+15²)=25(cm).
∵($\frac{1}{2}$)BC·AD=($\frac{1}{2}$)AB·AC,
∴AD=(AB·AC)/BC=(20×15)/25=12(cm).
∴BC边上的高为12 cm.
(2)设正方形EFGH的边长为x cm,
∵四边形EFGH是正方形,
∴EH//BC.
∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C.
∴△AEH∽△ABC.
∴(AO)/(AD)=(EH)/(BC),即(12-x)/12=x/25,解得x=$\frac{300}{37.}$即正方形EFGH的边长为$\frac{300}{37}$ cm.

$【$变式$】$在$Rt\triangle ABC$中，按如图所示的方式放置两个正方形，使得顶点$D，$$E，$$M，$$N$均在三角形的边上$. $若$AC = 3，$$BC = 4，$则小正方形的边长为　　$30/31$　　$.$　　

答案： 30/31