《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$P$ 为对角线 $BD$ 上一点，连接 $AP$ 并延长交射线 $BC$ 于点 $E$，连接 $PC$。
（1）求证：$\angle AEB=\angle PCD$。
（2）当 $PA = PD$ 且 $PC\perp BE$ 时，求 $\angle ABC$ 的度数。
【分析】（1）利用菱形的性质，易得 $AD = CD$，$\angle PDA=\angle PDC$，进而可得 $\triangle PAD\cong\triangle PCD(SAS)$，再由全等三角形的性质及平行线的性质即可证得结论。
（2）方法一，首先利用等腰三角形的性质得 $\angle PAD=\angle PDA$，设 $\angle PAD=\angle PDA = x$，利用外角性质易得 $\triangle PCD$ 的外角 $\angle BPC = 2x$，由 $PC\perp BE$，在 $\triangle PBC$ 中利用内角和定理，列方程可求得 $x$，进而求得 $\angle ABC$ 的度数。方法二，连接 $AC$，延长 $CP$ 交 $AD$ 于点 $M$，利用平行线的性质易得 $PM\perp AD$，由等腰三角形的“三线合一”，得 $AM = DM$，再由线段垂直平分线的性质得 $AC = CD$，进而得到 $\triangle ABC$ 是等边三角形，即得 $\angle ABC$ 的度数。
【解答】

【方法指导】菱形的性质在证明角度相等中的应用：①菱形的每一条对角线平分一组对角，可以用来证明角相等；②菱形的任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。

答案： 【例】 解:
(1)
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AD=CD,AD//BC,∠PDA=∠PDC.在△PAD 和△PCD 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ ∠PDA=∠PDC,\\ PD=PD,\end{array}\right. $
∴△PAD≌△PCD(SAS).
∴∠PAD=∠PCD.又
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD.
(2)方法一:
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.设∠PAD=∠PDA=x,则∠PCD=∠PAD=x.
∵PC⊥BC,
∴∠BPC=90°.
∵AD//BC,
∴∠PBC=∠PDA=x.又
∵∠PCB=∠BEA=∠PAD=2x,在△PBC 中,∠PBC+∠PCB+∠BPC=2x+x+90°=180°,解得x=30°.又
∵∠PBA=∠PBC,
∴∠ABC=2∠PBC=2x=60°.方法二:连接 AC,延长 CP 交 AD 于点 M.
∵AD//BC,PC⊥BC,
∴CM⊥AD.又
∵PA=PD,
∴AM=DM.
∴CM 垂直平分 AD.
∴AC=CD.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD.
∴AB=BC=AC.
∴△ABC 是等边三角形.
∴∠ABC=60°.