《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 1】
请在同一平面直角坐标系中画出二次函数① $ y = \frac{1}{2}x^2 $，② $ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 $ 的图象，说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性。

答案： 解:①图略.抛物线y=$\frac{1}{2}$(x−2)²可由抛物线y=$\frac{1}{2}$x²向右平移2个单位长度得到.②的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,0).当x＜2时，y随x的增大而减小;当x＞2时，y随x的增大而增大.

【例 2】
已知抛物线 $ y = a(x - 2)^2 $ 的顶点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，开口向上，与 $ y $ 轴相交于点 $ B $，$ OA = OB $。
（1）求出点 $ B $ 的坐标。
（2）在抛物线上是否存在一点 $ C $，使 $ \triangle ABC $ 是以 $ AB $ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $ C $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】
（1）由抛物线的表达式得出顶点 $ A $ 的坐标，根据 $ OA = OB $，得到点 $ B $ 的坐标；
（2）先求出抛物线的表达式，再分 $ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $ 两种情况进行讨论。
【解答】

答案：
解:
(1)
∵y=a(x−2)²,
∴顶点A的坐标为(2,0).
∵抛物线y=a(x−2)²开口向上，与y轴相交于点B,
∴点B在y轴的正半轴上.又
∵OA=OB，A(2,0),
∴B(0,2).
(2)将B(0,2)代入y=a(x−2)²,得2=4a,解得a=$\frac{1}{2}$.
∴y=$\frac{1}{2}$(x−2)².
　　　　　　 　　
①如图1,若∠BAC=90°,
∵△AOB是等腰直角三角形，A为抛物线顶点，
∴∠BAO=45°.
∴点B，C关于抛物线的对称轴对称.
∴C(4,2).
②如图2,若∠ABC=90°,过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥CM于点N，则BN//x轴，四边形OBNM是矩形.
∴MN=OB=2.
∵∠OAB=45°,
∴∠ABN=45°.
∴∠CBN=∠BCN=45°.
∴BN=CN.设C(m,$\frac{1}{2}$m²−2m+2).则m=$\frac{1}{2}$m²−2m+2−2,解得m₁=0(舍去)，m₂=6.
∴C(6,8).
综合上述，存在点C使△ABC是直角三角形，点C的坐标是(4,2)或(6,8).

【变式 2】
已知抛物线 $ y = \frac{1}{5}(x - 5)^2 $ 的顶点为 $ A $，抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ B $，过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的平行线交抛物线于另外一点 $ C $，则 $ \triangle ABC $ 的形状为等腰直角三角形。

答案： 等腰直角三角形