《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，在$□ ABCD$中，延长$DC$至点$E$，使得$DC = CE$，连接$AE$交$BC$于点$F$，连接$AC$，$BE$。
（1）求证：四边形$ABEC$是平行四边形。
（2）若$\angle AFC = 2\angle D$，求证：四边形$ABEC$是矩形。

答案： 证明:
(1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB=CD,AB// CD,$$∠ABC=∠D.\because CE=CD,\therefore AB=CE$.
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
(2)由
(1),得四边形 ABEC 是平行四边形,$\therefore BC=2BF,AE=2AF.\because$$∠AFC=∠ABC+∠BAE=2∠D,\therefore ∠ABC=∠BAE.\therefore AF=BF.\therefore AE=BC$.
∴四边形 ABEC 是矩形.

【例】如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形纸片，把纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $B$ 恰好落在 $CD$ 边上，折痕为 $AF$，且 $AB = 10\ cm$，$AD = 8\ cm$，$DE = 6\ cm$。
（1）求证：平行四边形 $ABCD$ 是矩形。
（2）求 $BF$ 的长。
（3）求折痕 $AF$ 的长。
【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知 $AE = AB$，在 $\triangle ADE$ 中，利用勾股定理逆定理证明 $\triangle ADE$ 为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可。
（2）设 $BF$ 为 $x$，分别表示出 $EF$，$EC$，$FC$，然后在 $\triangle EFC$ 中利用勾股定理列式进行计算即可。
（3）在 $Rt\triangle ABF$ 中，利用勾股定理求解即可。
【解答】

【方法指导】四边形中的折叠问题，要注意折叠前后的两个图形全等，利用折叠求线段长时，往往还需要在直角三角形中借助勾股定理建立方程求解。

答案： 解:
(1)
∵把纸片 ABCD 折叠,使点 B 恰好落在 CD 边上,
∴AE=AB=10 cm,$AE^{2}=10^{2}=100$.又$\because AD^{2}+DE^{2}=8^{2}+6^{2}=100,\therefore AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$.
∴△ADE 是直角三角形,$∠D=90^{\circ }$.又
∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)设 BF=x cm,则 EF=BF=x cm,EC=CD-DE=10-6=4(cm),FC=BC-BF=(8-x)cm.在$Rt△EFC$中,$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$,即$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,解得 x=5.故 BF=5 cm.
(3)在$Rt△ABF$中,$AB^{2}+BF^{2}=AF^{2}$,$\because AB=10cm,BF=5cm,\therefore AF=\sqrt {10^{2}+5^{2}}=5\sqrt {5}(cm).$