《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】 （1）一个二次函数的图象经过$(-1,0)$，$(0,6)$，$(3,0)$三点。求这个二次函数的表达式。
（2）已知二次函数的图象顶点是$(1,-3)$且经过点$P(2,0)$，求该函数的表达式。
【分析】 （1）方法一：设一般式$y = ax^{2}+bx + c$，再把三个点的坐标代入得到关于$a$，$b$，$c$的方程组，然后解方程组求出$a$，$b$，$c$即可。方法二：根据二次函数的图象经过$(-1,0)$，$(3,0)$两点，可以设交点式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，再将点$(0,6)$代入得到关于$a$的方程，即可求出二次函数的表达式。
（2）根据二次函数的图象顶点坐标$(1,-3)$，可设顶点式$y = a(x - 1)^{2}-3$，再将点$(2,0)$代入得到关于$a$的方程，即可求出二次函数的表达式。
【解答】

答案： 解:
(1)方法一:设二次函数的表达式为$y=ax^{2}+bx+c$,根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ 9a+3b+c=0,\\ c=6,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=-2,\\ b=4,\\ c=6.\end{array}\right.$所以二次函数的表达式为$y=-2x^{2}+4x+6$.方法二:设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,
∵二次函数的图象经过$(0,6)$,
∴$6=-3a$,解得$a=-2$.
∴二次函数的表达式为$y=-2(x+1)(x-3)$,化为一般式为$y=-2x^{2}+4x+6$.
(2)
∵二次函数的图象的顶点是$(1,-3)$,
∴设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^{2}-3(a≠0)$,将$P(2,0)$代入,得:$0=a×(2-1)^{2}-3$,解得$a=3$.
∴$y=3(x-1)^{2}-3=3x^{2}-6x$.
∴该函数的表达式为$y=3x^{2}-6x$.

【变式 1】 (1)已知二次函数的图象经过$(2,0)$，$(-4,0)$，$(0,-8)$三点，则此二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x-8$。
(2)二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$中的$x$，$y$满足下表，则这个二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x-3$。

答案：
(1)$y=x^{2}+2x-8$
(2)$y=x^{2}-2x-3$

【例 2】 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$经过点$A(1,0)$和点$B(-3,0)$，与$y$轴交于点$C$，$P$为第二象限内抛物线上一点。
（1）求抛物线的表达式，并写出顶点坐标。
（2）如图，连接$PB$，$PO$，$PC$，$BC$，$OP$交$BC$于点$D$，当$S_{\triangle CPD}:S_{\triangle BPD}=1:2$时，求出点$D$的坐标。
【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的表达式，然后将其化为顶点式求其顶点坐标；
（2）利用等高三角形面积之比为底边的比，结合平行线分线段成比例定理求解。
【解答】

答案： 解:
(1)将点$A(1,0)$和点$B(-3,0)$代入$y=ax^{2}+bx+3$,得$\left\{\begin{array}{l} a+b+3=0,\\ 9a-3b+3=0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-2.\end{array}\right.$
∴抛物线的表达式为$y=-x^{2}-2x+3$.又
∵$y=-x^{2}-2x+3=-(x+1)^{2}+4$,
∴抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$.
(2)过点$D$作$DM⊥y$轴于点$M$,在$y=-x^{2}-2x+3$中,当$x=0$时,$y=3$,
∴点$C$的坐标为$(0,3)$,设直线$BC$的表达式为$y=kx+m$,将$B(-3,0),C(0,3)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} -3k+m=0,\\ m=3,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k=1,\\ m=3.\end{array}\right.$
∴直线$BC$的表达式为$y=x+3$.
∵$S_{\triangle CPD}:S_{\triangle BPD}=1:2$,
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$.又
∵$DM⊥y$轴,
∴$DM// OB$.
∴$\frac{OM}{OC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$.
∴$\frac{OM}{3}=\frac{2}{3}$,解得$OM=2$.在$y=x+3$中,当$y=2$时,$x=-1$,
∴点$D$的坐标为$(-1,2)$.