《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle ACB = 90° $， $ \angle A = 60° $，斜边上的高 $ CD = \sqrt{3} $，试解直角三角形 $ ABC $。
【分析】如图，可以看出 $ CD $ 是 $ Rt \triangle ADC $ 和 $ Rt \triangle BCD $ 的一边，分别解这两个直角三角形即可。
【解答】

答案： 解：
∵在Rt△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=30°.
∵在Rt△ADC中，sinA= $\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=2.
∵在Rt△ABC中，tanA= $\frac{BC}{AC}$，cosA= $\frac{AC}{AB}$，
∴BC=AC·tanA=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，AB= $\frac{AC}{\cos A}=\frac{2}{\cos60°}=4$.

【变式 1】如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90° $，点 $ D $ 在 $ AC $ 上， $ \angle DBC = \angle A $。若 $ AC = 4 $， $ \cos A = \dfrac{4}{5} $，则 $ BD $ 的长度为$\frac{15}{4}$。

答案： $\frac{15}{4}$

【变式 2】在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle B $ 为锐角， $ \cos B = \dfrac{2\sqrt{7}}{7} $， $ AB = \sqrt{7} $， $ AC = 2 $，则 $ \angle ACB $ 的度数为60°或120°。

答案： 60°或120°

【例 2】如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 $ CD $，小马同学在山坡的坡脚 $ A $ 处测得广告牌底部 $ D $ 的仰角为 $ 53° $，沿坡面 $ AB $ 向上走到 $ B $ 处测得广告牌顶部 $ C $ 的仰角为 $ 45° $，已知山坡 $ AB $ 的坡比 $ i = 1 : \sqrt{3} $， $ AB = 10 $ 米， $ AE = 21 $ 米。（测角器的高度忽略不计，参考数据： $ \sin 53° \approx \dfrac{4}{5} $， $ \cos 53° \approx \dfrac{3}{5} $， $ \tan 53° \approx \dfrac{4}{3} $）
（1）求点 $ B $ 距水平地面 $ AE $ 的高度。
（2）求广告牌的高度 $ CD $ 的长度。（结果保留根号）
【分析】（1）根据坡度的定义，求出 $ \angle BAM = 30° $，再在 $ Rt \triangle ABM $ 中，利用正弦函数求出 $ BM $；（2）在 $ Rt \triangle ABM $ 中，利用余弦函数求出 $ AM $，进而求出 $ ME $，再在 $ Rt \triangle BCN $ 中，得出 $ CN = BN $，然后在 $ Rt \triangle ADE $ 中求出 $ DE $，即可求解。
【解答】

答案： 解：
(1)过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M，N，由题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=53°，i=1：$\sqrt{3}$，AB=10米，AE=21米.
∵i=1：$\sqrt{3}=\frac{BM}{AM}=\tan\angle BAM$，
∴∠BAM=30°.
∴BM= $\frac{1}{2}$AB=5米.答：点B距水平地面AE的高度为5米.
(2)在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴NE=BM= $\frac{1}{2}$AB=5米，AM= $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$米.K
∴ME=AM+AE=(5$\sqrt{3}$+21)米=BN.
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=(5$\sqrt{3}$+21)米.
∴CE=CN+NE=(5$\sqrt{3}$+26)米.在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，
∴DE=AE·tan53°≈21×$\frac{4}{3}$=28(米).
∴CD=CE-DE=5$\sqrt{3}$+26-28=(5$\sqrt{3}$-2)米.
∴广告牌CD的高度为(5$\sqrt{3}$-2)米.