《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 1】 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 6$，$BC = 8$，过点 $O$ 作 $OE \perp AC$，交 $AD$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF \perp BD$，垂足为 $F$，则 $OE + EF$ 的值为$\frac{24}{5}$.

答案： $\frac{24}{5}$

【例 2】 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$F$ 是矩形 $ABCD$ 上方一点，连接 $CF$ 交 $BD$ 于点 $E$，且 $E$ 是 $CF$ 的中点，连接 $AF$，$DF$，$DF // AC$.
(1)求证：四边形 $AODF$ 是菱形.
(2)若 $\angle AOB = 60^{\circ}$，$\angle AFC = 90^{\circ}$，$AB = 2$，求 $CF$ 的长.
【分析】 (1)先由“AAS”证 $\triangle DEF \cong \triangle OEC$，得 $DF = OC = OA$，再证四边形 $AODF$ 是平行四边形，然后由 $OA = OD$ 可得结论.
(2)先证 $\triangle AOB$ 是等边三角形，得 $OA = AB = 2$，再由菱形的性质得 $AF = OA = 2$，$AF // BD$，由平行线的性质得 $\angle FAC = \angle AOB = 60^{\circ}$，然后由含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质即可求解.
【解答】

【方法指导】 根据矩形的对角线相等且互相平分、且矩形的四个角都是直角的性质，通常将矩形问题转化为直角三角形或等腰(边)三角形问题来解决.

答案：
(1)
∵DF//AC，
∴∠DFC=∠OCF，∠EDF=∠EOC.
∵点E是CF的中点，
∴FE=CE.在△DEF和△OEC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠DFE=∠OCE,\\ ∠EDF=∠EOC,\\ EF=EC,\end{array}\right. $
∴△DEF≌△OEC(AAS).
∴DF=OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD.
∴OA=OD.
∴DF=OA，且DF//AO.
∴四边形AODF是平行四边形.又
∵OA=OD，
∴四边形AODF是菱形.
(2)由
(1)，得OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=2.
∵四边形AODF是菱形，
∴AF=OA=2，AF//BD.
∴∠FAC=∠AOB=60°.
∵∠AFC=90°，
∴∠ACF=30°.
∴AC=2AF.
∴CF=$\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{3}AF=2\sqrt{3}$.

【变式 2】 如图，已知在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 是对角线 $BD$ 所在直线上的两点，且 $\angle AED = 45^{\circ}$，$DF = BE$，连接 $CE$，$AF$，$CF$，得四边形 $AECF$.
(1)求证：四边形 $AECF$ 是正方形.
(2)若 $BD = 4$，$BE = 3$，则菱形 $ABCD$ 的面积为20.

答案：
(1)证明：连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.
∵BE=DF，
∴BE+OB=DF+DO.
∴EO=FO.
∴EF与AC互相垂直平分.
∴四边形AECF是菱形.
∴∠AEF=∠CEF.又
∵∠AED=45°，
∴∠AEC=90°.
∴四边形AECF是正方形.
(2)20