《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-4\sqrt{3}x + 10 = 0$.
(2)$(x + 2)^{2}=2x + 1$.
【分析】 (1)先求出判别式的值，再代入求根公式计算即可；(2)先将方程化为一般形式，再进行(1)的步骤
【解答】
【方法指导】 用公式法解一元二次方程的步骤：①方程化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$；②找出各项系数$a$，$b$，$c$；③代入$\Delta = b^{2}-4ac$求值，并判断其符号；④代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得根.

答案： 解：
(1)
∵a=1,b=-4√3,c=10,
∴b²-4ac=(-4√3)²-4×1×10=8＞0.
∴$x=-\left(-4\sqrt{3}\right)\pm \sqrt{8}/2×1=4\sqrt{3}\pm 2\sqrt{2}/2=2\sqrt{3}\pm \sqrt{2}.$
∴x₁=2√3+√2,x₂=2√3-√2.
(2)原方程可化为x²+2x+3=0.
∵a=1,b=2,c=3,
∴b²-4ac=2²-4×1×3=-8＜0.
∴此方程无实数根.

【变式 1】 方程$2x^{2}-6x - 1 = 0$的负数根为$x=3-\sqrt{11}/2$.

答案： $x=3-\sqrt{11}/2$

【例 2】 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + k - 5 = 0$.
(1)当$k$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当$k$为何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当$k$为何值时，方程没有实数根？
【分析】 先求$\Delta$，(1)$\Delta＞0$，解关于$k$的不等式求出$k$的范围；(2)$\Delta = 0$，解关于$k$的方程求出$k$的值；(3)$\Delta＜0$，解关于$k$的不等式求出$k$的范围.
【解答】
【方法指导】 (1)根的判别式逆用，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$：

(2)根据方程根的情况求方程中待定字母的取值范围的步骤：
①确定含字母系数的方程的二次项系数、一次项系数、常数项；
②根据方程根的情况确定判别式的取值范围，从而求出字母系数的取值范围.

答案： 解：Δ=(-4)²-4×1×(k-5)=36-4k.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,即36-4k＞0.解得k＜9.
(2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即36-4k=0.解得k=9.
(3)
∵方程没有实数根,
∴Δ＜0,即36-4k＜0.解得k＞9.

【变式 2】 若关于$x$的方程$(1 - m)x^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则整数$m$的最大值是0.

答案： 0