《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】
如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle B = \angle D$，$AE\perp BC$于点$E$，$AF\perp CD$于点$F$，连接$EF$。
（1）求证：$\triangle AEF$是等腰三角形。

（2）若$AB// CD$，求证：四边形$ABCD$为菱形。

答案： 证明:
(1)
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠AFD,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴AE=AF.
∴△AEF是等腰三角形.
(2)
∵AB//CD,
∴∠B+∠C=180°.
∵∠B=∠D,
∴∠D+∠C=180°.
∴AD//BC.
∴四边形ABCD为平行四边形.又
∵AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形.

【例】如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，对角线 $BD$ 的垂直平分线与边 $AD$，$BC$ 分别相交于点 $M$，$N$。
(1) 求证：四边形 $BNDM$ 是菱形。
(2) 若 $BD = 24$，菱形 $BNDM$ 的面积为 $120$，求菱形 $BNDM$ 的周长。
【分析】(1) 由垂直平分线的性质得出 $OB = OD$，$MN \perp BD$，再证明 $\triangle MOD \cong \triangle NOB(AAS)$，得出 $OM = ON$，由 $OB = OD$，证明四边形 $BNDM$ 是平行四边形，进而得出结论。
(2) 由菱形的面积公式可求 $MN = 10$，由菱形的性质得出 $BM = BN = DM = DN$，$OB = \frac{1}{2}BD = 12$，$OM = \frac{1}{2}MN = 5$，由勾股定理得 $BM = 13$，即可得出答案。
【解答】

【方法指导】菱形的面积有三种计算方法：①利用平行四边形的面积公式，即“底×高”；②菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，它们面积的和即为菱形的面积；③由菱形的对角线互相垂直平分，得菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。

答案： 解:
(1)$\because AD// BC,\therefore ∠DMO=∠BNO.\because MN$是对角线BD的垂直平分线，$\therefore OB=OD,MN⊥BD$.在$\triangle MOD$和$\triangle NOB$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DMO=∠BNO,\\ ∠MOD=∠NOB,\\ OD=OB,\end{array}\right. \therefore \triangle MOD\cong \triangle NOB(AAS).\therefore OM=ON$.又$\because OB=OD$,
∴四边形BNDM是平行四边形.又$\because MN⊥BD$,
∴四边形BNDM是菱形.
(2)
∵菱形BNDM的面积为$\frac {1}{2}BD\cdot MN=120,\therefore MN=10$.
∵四边形BNDM是菱形,$BD=24,MN=10,\therefore BM=BN=DM=DN,OB=\frac {1}{2}BD=12,OM=\frac {1}{2}MN=5$.在$Rt\triangle BOM$中,$BM=\sqrt {OM^{2}+OB^{2}}=\sqrt {25+144}=13$,
∴菱形BNDM的周长为$4BM=4×13=52.$