《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图 1，桥拱截面 $OBA$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $OA = 8$ m，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4$ m。
（1）按如图 2 所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式。
（2）一只宽为 $1.2$ m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0.4$ m 时，桥下水位刚好在 $OA$ 处，有一名身高 $1.68$ m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？请说明理由（假设船底与水面齐平）。

答案：
(1)由题意得水面宽 OA 是 8 m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4 m，结合函数图象可知，顶点 B(4,4)，点 O(0,0)，设二次函数的表达式为 $ y=a(x-4)^2+4 $。将点 O(0,0)代入函数表达式，解得 $ a=-\frac{1}{4} $。
∴二次函数的表达式为 $ y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4 $，即 $ y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0\leqslant x\leqslant 8) $。
(2)工人不会碰到头。理由如下：
∵小船距 O 点 0.4 m，小船宽 1.2 m，工人直立在小船中间，由题意，得工人距 O 点距离为 $ 0.4+\frac{1}{2}× 1.2=1 $，
∴将 $ x=1 $ 代入 $ y=-\frac{1}{4}x^2+2x $，得 $ y=\frac{7}{4}=1.75 $。
∵1.75 m ＞ 1.68 m，
∴此时工人不会碰到头。