《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】已知 $ a : b = 3 : 2 $
（1）求 $ \dfrac{a + b}{b} $，$ \dfrac{2a - 7b}{4b} $ 的值。
（2）若 $ a + 2b = 28 $
① 求 $ a $，$ b $ 的值。
② 若线段 $ x $ 是线段 $ a $，$ b $ 的比例中项，求 $ x $ 的值。
【分析】（1）根据已知条件设 $ a : b = 3 : 2 = k(k \neq 0) $，则 $ a = 3k $，$ b = 2k $，再代入要求的式子进行计算即可得出答案。（2）① 利用 $ a = 3k $，$ b = 2k $，则 $ 3k + 4k = 28 $，然后解出 $ k $ 的值即可得到 $ a $，$ b $ 的值；② 根据比例中项的定义得到 $ x^2 = ab $，即 $ x^2 = 96 $，然后根据算术平方根的定义求解。
【解答】
【方法指导】用比例的基本性质进行相关计算时，常用 $ k $ 值法，根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示相应的字母，再代入求值。

答案： 解：
∵a：b=3：2，
∴设a=3k，b=2k.
(1)$\frac{a+b}{b}=\frac{3k+2k}{2k}=\frac{5}{2}$；$\frac{2a-7b}{4b}=\frac{2×3k-7×2k}{4×2k}=-1$.
(2)①
∵a=3k，b=2k，a+2b=28，
∴3k+4k=28，解得k=4.
∴a=12，b=8. ②
∵x是a：b的比例中项，
∴$x^2=ab=96$.
∵x＞0，
∴$x=4\sqrt{6}$.

【变式 1】(1)已知 $ \dfrac{x}{y} = 2 $，那么 $ \dfrac{2x - y}{x + 2y} = $$\frac{3}{4}$
(2)已知 $ 2x = 3y $，则 $ (x + y) : y $ 的值为5：2。

答案：
(1)$\frac{3}{4}$
(2)5：2

【例 2】(1)已知 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是成比例线段，$ a = 4 \, cm $，$ b = 9 \, cm $，$ c = 8 \, cm $，则线段 $ d $ 的长为18 cm。
(2)已知三条长分别为 $ 3 \, cm $，$ 6 \, cm $，$ 9 \, cm $ 的线段，现添加一条线段 $ a $ 使得这四条线段成比例，则线段 $ a $ 的长度的所有可能值为18 cm或2 cm或4.5 cm。
【分析】(1)根据 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是成比例线段，得 $ a : b = c : d $，再根据比例的基本性质，求出 $ d $ 的值即可。(2)根据四条线段成比例，可得 $ 3 : 6 = 9 : a $ 或 $ a : 3 = 6 : 9 $ 或 $ 6 : 3 = 9 : a $，分别求出 $ x $ 的值即可求解。
【方法指导】成比例线段具有顺序性：
第一比例项 第三比例项
$ a : b = c : d $
第二比例项 第四比例项
注意：不同的顺序会有不同的结果，切记进行分类讨论。

答案：
(1)18 cm
(2)18 cm或2 cm或4.5 cm