《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 上一点，$F$ 是 $AD$ 延长线上一点，且 $DF = BE$。
(1) 求证：$\angle BCE=\angle DCF$。
(2) 点 $G$ 在 $AD$ 上，连接 $GE$，$GC$。若 $GE = GD + DF$，则 $\angle GCE=$45°。

答案： 解:
(1)证明:在正方形 ABCD 中,
∵BC=DC,∠B=∠CDF,DF=BE,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴∠BCE=∠DCF.
(2)45°

【例】如图，在$□ ABCD$中，点$E,F,G,H$分别在边$AB,BC,CD,DA$上，$AE=CG$，$AH=CF$，且$EG$平分$\angle HEF$。
（1）求证：$\triangle AEH\cong\triangle CGF$。
（2）若$\angle EFG=90^{\circ}$，求证：四边形$EFGH$是正方形。
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理$SAS$证得结论。
（2）先证明四边形$EFGH$是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合$\angle EFG=90^{\circ}$，即可证得该平行四边形是正方形。
【解答】

【方法指导】由矩形证明正方形的思路有两种，即证明有一组邻边相等或证明对角线互相垂直；由菱形证明正方形的思路有两种，即证明有一个内角是直角或证明对角线相等。

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C（平行四边形对角相等）。在△AEH和△CGF中，
∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF（SAS）。
（2）证明：
∵△AEH≌△CGF，
∴EH=FG，∠AEH=∠CGF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠AEG=∠CGE（两直线平行，内错角相等）。
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG。
∵∠AEG=∠AEH+∠HEG，∠CGE=∠CGF+∠FGE，且∠AEH=∠CGF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=FG（等角对等边）。
∵∠HEG=∠FGE，
∴EH//FG（内错角相等，两直线平行）。又
∵EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵∠EFG=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形。
∵EF=FG，
∴矩形EFGH是正方形。