《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】 如图，已知直线 $ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $ 分别截直线 $ l_4 $ 于点 $ A $，$ B $，$ C $，截直线 $ l_5 $ 于点 $ D $，$ E $，$ F $，且 $ l_1 // l_2 // l_3 $。
（1）若 $ AB = 3 $，$ BC = 6 $，$ DE = 4 $，求 $ EF $ 的长。
（2）若 $ DE : EF = 2 : 3 $，$ AC = 25 $，求 $ AB $ 的长。
【解答】

答案： 解：
(1)
∵l₁//l₂//l₃，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{3}{6}=\frac{4}{EF}$，解得 EF=8.
(2)
∵l₁//l₂//l₃，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.
∵DE：EF=2：3，AC=25，
∴$\frac{AB}{25-AB}=\frac{2}{3}$，解得AB=10.

【变式 1】 如图，已知 $ AD // BE // CF $，它们依次交直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 于点 $ A $，$ B $，$ C $ 和点 $ D $，$ E $，$ F $。如果 $ 5AB = 2AC $，$ DE = 6 $，那么线段 $ EF $ 的长是9。

答案： 9

【例 2】 如图，$ E $ 为 $ □ ABCD $ 的边 $ BA $ 的延长线上一点，$ CE $ 分别截 $ AD $，$ BD $ 于点 $ G $，$ F $。求证：$ CF^2 = GF \cdot EF $。
【分析】 根据平行四边形的性质得 $ AD // BC $，$ AB // CD $，再根据平行线分线段成比例定理得 $\frac{GF}{CF} = \frac{DF}{BF}$，$\frac{CF}{EF} = \frac{DF}{BF}$，利用等量代换得到 $\frac{GF}{CF} = \frac{CF}{EF}$，然后根据比例的性质即可得到结论。
【解答】

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD.
∴$\frac{GF}{CF}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{CF}{EF}=\frac{DF}{BF}$.
∴$\frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，即CF²=GF·EF.

【变式 2】 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD $ 为 $ BC $ 边上的中线，点 $ E $ 在 $ AD $ 上，射线 $ CE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。若 $\frac{DE}{AE} = \frac{1}{3}$，则 $\frac{AF}{FB} =$$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$