《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 2】已知四条线段 $ a $，$ 3 $，$ a + 1 $，$ 4 $ 是成比例线段，则 $ a $ 的值为3。

答案： 3

【例】若$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}\neq0$，求$\frac{a + b - c}{a + b + c}$的值。
【分析】方法一，用含$c$的式子来表示$a$，$b$，再代入求解；方法二，利用已知条件可设$a = 5t$，$b = 7t$，$c = 8t$，再代入求解；方法三，运用等比的性质列出关于$a + b - c$和$a + b + c$的式子，再代入求解。
【解答】

答案： 解:方法一:由题意,得 $ a=\frac{5}{8}c $,$ b=\frac{7}{8}c $,$\therefore \frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{\frac{5}{8}c+\frac{7}{8}c-c}{\frac{5}{8}c+\frac{7}{8}c+c}=\frac{\frac{1}{2}c}{\frac{5}{2}c}=\frac{1}{5} $.方法二:$\because \frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}\neq 0$,$\therefore$设 $ a=5t $,$ b=7t $,$ c=8t $.$\therefore \frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{5t+7t-8t}{5t+7t+8t}=\frac{4t}{20t}=\frac{1}{5}$.方法三:$\because \frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}\neq 0$,$\therefore \frac{a+b-c}{5+7-8}=\frac{a}{5}$,即$\frac{a+b-c}{4}=\frac{a}{5}$,$\frac{a+b+c}{5+7+8}=\frac{a}{5}$,即$\frac{a+b+c}{20}=\frac{a}{5}$.$\therefore \frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{4}{20}$.$\therefore \frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.

【变式】设$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$三条边的长，且$\frac{a - b}{b}=\frac{b - c}{c}=\frac{c - a}{a}$，判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由。

答案： 解:$\triangle ABC$为等边三角形.理由如下:$\because a$,$ b$,$ c$是$\triangle ABC$三条边的长,$\therefore a+b+c\neq 0$.$\because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$,$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0$.$\therefore a-b=0$,$ b-c=0$,$ c-a=0$.$\therefore a=b=c$.$\therefore \triangle ABC$为等边三角形.