《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】已知函数 $ y = (k^{2} + k)x^{k^{2} - k - 1} $ 是反比例函数，则 $ k $ 的值为1.
【分析】根据反比例函数表达式的一般形式 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数，$ k \neq 0 $)，也可以写成 $ y = kx^{-1} $，后一种的写法中 $ x $ 的次数为 $ -1 $.由题意可知该函数为反比例函数，故必须具备两个条件 $ k^{2} - k - 1 = -1 $，$ k^{2} + k \neq 0 $，从而得到 $ k = 1 $.

答案： 1

【变式 1】已知反比例函数的表达式为 $ y = \frac{|a| - 2}{x} $，则 $ a $ 的取值范围是$a\neq\pm2$.

答案： $a\neq\pm2$

【变式 2】已知函数 $ y = \frac{m - 1}{x^{|m|}} $ 是反比例函数，则 $ m = $$-1$.

答案： $-1$

【例 2】已知函数 $ y = y_{1} + y_{2} $，$ y_{1} $ 与 $ (x - 1) $ 成反比例，$ y_{2} $ 与 $ x $ 成正比例，且当 $ x = 2 $ 时，$ y_{1} = 4 $，$ y = 2 $.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
（2）求当 $ x = 3 $ 时的函数值.
【分析】首先根据题意，分别表示出 $ y_{1} $ 与 $ x $，$ y_{2} $ 与 $ x $ 的函数表达式，再进一步表示出 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解.
【解答】

答案： 解：
(1)设 $y_{1}=\frac{k_{1}}{x-1}$，$y_{2}=k_{2}x(k_{2}\neq0)$，$\therefore y=\frac{k_{1}}{x-1}+k_{2}x$. 把 $x=2$，$y_{1}=4$ 和 $x=2$，$y=2$ 分别代入，得 $\begin{cases}k_{1}=4,\\k_{1}+2k_{2}=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_{1}=4,\\k_{2}=-1.\end{cases}$ $\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=\frac{4}{x-1}-x$.
(2)当 $x=3$ 时，$y=\frac{4}{3-1}-3=-1$.

【变式 3】已知函数 $ y = 2y_{1} - y_{2} $，$ y_{1} $ 与 $ x + 1 $ 成正比例，$ y_{2} $ 与 $ x $ 成反比例，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 $，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 3 $，则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{x}+\frac{1}{2}$.

答案： $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{x}+\frac{1}{2}$