《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在 $ A $ 处观察到电视塔在北偏东 $ 37 $ 度的方向上，$ 5 $ 分钟后在 $ B $ 处观察到电视塔在北偏西 $ 53 $ 度的方向上。若电视塔 $ C $ 距离公路 $ AB $ 的距离为 $ 300 $ 米，则小明的徒步速度约为126 米/分。(精确到个位，$ \sin 37^{\circ} \approx 0.6 $，$ \cos 37^{\circ} \approx 0.8 $，$ \sin 53^{\circ} \approx 0.8 $，$ \cos 53^{\circ} \approx 0.6 $，$ \tan 37^{\circ} \approx 0.75 $，$ \tan 53^{\circ} \approx 1.3 $)

答案： 126 米/分

【例】某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥。如图，河旁有一座小山，山高 $ BC = 80$ m，点 $ C$，$ A$ 与河岸 $ E$，$ F$ 在同一水平线上，从山顶 $ B$ 处测得河岸 $ E$ 和对岸 $ F$ 的俯角分别为 $ ∠DBE = 45°$，$ ∠DBF = 31°$。若在此处建桥，求河宽 $ EF$ 的长。（结果精确到 $ 1$ m，参考数据：$\sin31° \approx 0.52$，$\cos31° \approx 0.86$，$\tan31° \approx 0.60$）

【分析】在 $ Rt\triangle BCE$ 中，根据等腰三角形的判定求出 $ CE$，在 $ Rt\triangle BCF$ 中，根据正切函数求出 $ CF$，则 $ EF = CF - CE$。
【解答】
【方法指导】仰角和俯角的问题常转化为双直角三角形的问题来解决。

答案： 解:在Rt△BCE中,∠BEC=∠DBE=45°,
∴∠CBE=45°,
∴CE=BC=80 m.在Rt△BCF中,BC=80 m,∠BFC=∠DBF=31°,tan∠BFC=$\frac{BC}{CF}$,
∴$\frac{80}{CF}$≈0.60.
∴CF≈133.3.
∴EF=CF-CE=133.3-80=53.3≈53(m).
答:河宽EF的长约为53 m.