《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】 如图，四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ A'B'C'D' $ 位似，位似中心为点 $ O $，$ OC = 6 $，$ CC' = 4 $，$ AB = 3 $，则 $ A'B' = $5.

【分析】 直接利用位似图形的性质即可得出答案.

答案： 5

【变式 1】 如图，五边形 $ ABCDE $ 与五边形 $ A'B'C'D'E' $ 是位似图形，且相似比为 $ \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{2}{3} $.若五边形 $ ABCDE $ 的面积为 $ 15 \ cm^2 $，那么五边形 $ A'B'C'D'E' $ 的面积为$\frac{20}{3}\ cm^2$.

答案： $\frac{20}{3}\ cm^2$

【例 2】 画图题：
（1）在图 1 中，以点 $ O $ 为位似中心，把 $ \triangle ABC $ 放大到原来的 $ 2 $ 倍.
（2）在图 2 中，以点 $ O $ 为位似中心，把 $ \triangle ABC $ 缩小为原来的 $ \dfrac{1}{2} $.

【分析】 （1）①连接 $ OA $ 并延长，使 $ OA' = 2OA $，则 $ A' $ 就是 $ A $ 的对应点，同理可以作出 $ B $，$ C $ 的对应点，顺次连接就是所求三角形.②连接 $ AO $ 并延长，使 $ OA'' = 2OA $，则 $ A'' $ 就是 $ A $ 的对应点，同理可以作出 $ B $，$ C $ 的对应点，顺次连接就是所求三角形.（2）同（1）的作法.
【解答】

答案： （1）作法如下：
① 在图1中，连接$OA$并延长，使$OA^\prime=2OA$，得到点$A$的对应点$A^\prime$；
② 同理，连接$OB$并延长，使$OB^\prime = 2OB$，得到点$B$的对应点$B^\prime$；连接$OC$并延长，使$OC^\prime=2OC$，得到点$C$的对应点$C^\prime$；
③ 顺次连接$A^\prime B^\prime$，$B^\prime C^\prime$，$C^\prime A^\prime$，得到$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$，即为把$\triangle ABC$放大到原来$2$倍的图形。
（或从$O$点另一侧延长：连接$AO$并反向延长，使$OA^{\prime\prime}=2OA$，同理作出$B^{\prime\prime}$，$C^{\prime\prime}$，顺次连接得到另一个符合条件的$\triangle A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}$）
（2）作法如下：
① 在图2中，连接$OA$并取点$A^{\prime\prime\prime}$使$OA^{\prime\prime\prime}=\frac{1}{2}OA$，得到点$A$的对应点$A^{\prime\prime\prime}$；
② 同理，连接$OB$并取点$B^{\prime\prime\prime}$使$OB^{\prime\prime\prime}=\frac{1}{2}OB$，得到点$B$的对应点$B^{\prime\prime\prime}$；连接$OC$并取点$C^{\prime\prime\prime}$使$OC^{\prime\prime\prime}=\frac{1}{2}OC$，得到点$C$的对应点$C^{\prime\prime\prime}$；
③ 顺次连接$A^{\prime\prime\prime}B^{\prime\prime\prime}$，$B^{\prime\prime\prime}C^{\prime\prime\prime}$，$C^{\prime\prime\prime}A^{\prime\prime\prime}$，得到$\triangle A^{\prime\prime\prime}B^{\prime\prime\prime}C^{\prime\prime\prime}$，即为把$\triangle ABC$缩小为原来$\frac{1}{2}$的图形。
（或从$O$点另一侧：连接$AO$并反向取点，使$OA^{iv}=\frac{1}{2}OA$，同理作出$B^{iv}$，$C^{iv}$，顺次连接得到另一个符合条件的$\triangle A^{iv}B^{iv}C^{iv}$）

【变式 2】 （1）图 1 中，以点 $ O $ 为位似中心，把 $ \triangle ABC $ 放大到原来的 $ 2 $ 倍.
（2）图 2 中，以点 $ O $ 为位似中心，把 $ \triangle ABC $ 缩小为原来的 $ \dfrac{1}{3} $.

答案：
(1)
1. 连接位似中心 $O$ 与 $\triangle ABC$ 的各顶点 $A$, $B$, $C$，并延长；
2. 在射线 $OA$, $OB$, $OC$ 上分别取点 $A'$, $B'$, $C'$，使得 $OA' = 2OA$, $OB' = 2OB$, $OC' = 2OC$；
3. 连接 $A'B'$, $B'C'$, $C'A'$，得到放大后的 $\triangle A'B'C'$。
(2)
1. 连接位似中心 $O$ 与 $\triangle ABC$ 的各顶点 $A$, $B$, $C$，并延长；
2. 在射线 $OA$, $OB$, $OC$ 上分别取点 $A'$, $B'$, $C'$，使得 $OA' = \frac{1}{3}OA$, $OB' = \frac{1}{3}OB$, $OC' = \frac{1}{3}OC$；
3. 连接 $A'B'$, $B'C'$, $C'A'$，得到缩小后的 $\triangle A'B'C'$。