《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例★★★已知a + b = 5,ab = 3,求a² + b²的值。
思路分析
a² + b² → (a + b)² - 2ab（整体思想）→ 代入求值
解：因为(a + b)² = a² + b² + 2ab,所以a² + b² = (a + b)² - 2ab。
因为a + b = 5,ab = 3,所以a² + b² = 5² - 2×3 = 19。
解题策略 解决此类求值问题,就是将待求的式子通过变形,转化为含有已知式子的形式,再整体代入求值。常见的公式变形如下:
1.a² + b²的变形:
　(1)a² + b² = (a + b)² - 2ab;
　(2)a² + b² = (a - b)² + 2ab;
　(3)a² + b² = $\frac{1}{2}[(a + b)² + (a - b)²]$。
2.ab的变形:
　(1)ab = $\frac{1}{2}[(a + b)² - (a² + b²)]$;
　(2)ab = $\frac{1}{2}[(a² + b²) - (a - b)²]$;
　(3)ab = $\frac{1}{4}[(a + b)² - (a - b)²]$。
3.(a ± b)²的变形:
　(1)(a + b)² = (a - b)² + 4ab;
　(2)(a - b)² = (a + b)² - 4ab。
注意:上面式子中的a与b既可以是单项式，也可以是多项式。

答案：

1.★☆☆[西安碑林区期末]已知$m^{2}+n^{2}=7$，$(m + n)^{2}=11$，则$mn$的值为_______。

答案： 2

(1)★☆☆[宿迁中考]已知$a + b = 3$，$a^{2}+b^{2}=5$，则$ab=$________。

答案： 2

(2)★☆☆[毕节金沙县期末]已知$(a + b)^{2}=12$，$ab = 2$，则$(a - b)^{2}=$________。

答案： 4

(3)★☆☆[乐山中考]已知$a - b = 3$，$ab = 10$，则$a^{2}+b^{2}=$________。

答案： 29

(4)★☆☆[德阳中考]已知$(x + y)^{2}=25$，$(x - y)^{2}=9$，则$xy=$________。

答案： 4

2.★☆☆已知$a + b = 6$，$ab = - 27$，求下列各式的值：
(1)$a^{2}+b^{2}-ab$；
(2)$(a - b)^{2}$。

答案： 解：
(1)由a + b = 6，得(a + b)² = 36，即a² + b² + 2ab = 36。因为ab = -27，所以a² + b² = 36 - 2ab = 36 - 2×(-27) = 90。所以a² + b² - ab = 90 - (-27) = 117。
(2)因为a² + b² = 90，ab = -27，所以(a - b)² = a² - 2ab + b² = (a² + b²) - 2ab = 90 - 2×(-27) = 144。