《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例8 已知$a^{m}=4,a^{n}=2$，求$a^{3m - 2n}$的值。
思路分析
观察待求式→逆用同底数幂的除法的运算性质。
转化为两个同底数幂相除→逆用幂的乘方的运算性质。
两个幂变形为含有已知幂的形式→代入已知条件求值
解：因为$a^{m}=4,a^{n}=2$，
所以$a^{3m - 2n}=a^{3m}\div a^{2n}=(a^{m})^{3}\div (a^{n})^{2}=4^{3}\div 2^{2}=64\div 4 = 16$。
技巧点拨 1.若指数中出现加法，则要考虑逆用同底数幂的乘法的运算性质；
2.若指数中出现减法，则要考虑逆用同底数幂的除法的运算性质；
3.若指数中出现乘法，则要考虑逆用幂的乘方的运算性质。

答案：

8 - 1 已知$a^{m}=2,a^{n}=4,a^{k}=32(a\neq0)$。
(1)求$a^{3m + 2n - k}$的值；
(2)求$k - 3m - n$的值。

答案： 解:
(1)因为$a^{3m}$=($a^{m}$)$^{3}$=$2^{3}$，$a^{2n}$=($a^{n}$)$^{2}$=$4^{2}$=$2^{4}$，$a^{k}$=32=$2^{5}$，
　　所以$a^{3m + 2n - k}$=$a^{3m}$·$a^{2n}$÷$a^{k}$=$2^{3}$×$2^{4}$÷$2^{5}$=$2^{3 + 4 - 5}$=$2^{2}$=4。
(2)因为$a^{k - 3m - n}$=$a^{k}$÷$a^{3m}$÷$a^{n}$=$2^{5}$÷$2^{3}$÷$2^{2}$=$2^{0}$=1=$a^{0}$($a\neq0$)，所以$k - 3m - n$=0。

例9 [方程思想]若$9^{m}\times27^{m - 1}\div 3^{3m}=27$，则$m =$________。
思路分析
$9^{m}\times27^{m - 1}\div 3^{3m}=27$
$3^{2m}\times3^{3(m - 1)}\div 3^{3m}=3^{3}$
$3^{2m + 3(m - 1)-3m}=3^{3}$
构建方程
$2m + 3(m - 1)-3m = 3$
答案：3
解题策略 求幂的指数中字母的值，一般要将等号两边的数化为同底数幂，然后根据指数相等列出方程求解。

答案：

9 - 1 [驻马店泌阳县期末]已知$m - 2n = 3$，则$2^{m}\div 4^{n}=$________。

答案： 8 

9 - 2 若$3^{2}\times9^{2n + 1}\div 27^{n + 1}=81$，则$n =$________。

答案： 3

9 - 3 已知$(x^{3n - 2})^{2}\cdot x^{2n + 4}\div x^{n}=x^{2n + 5}$，求$n$的值。

答案： 解:因为($x^{3n - 2}$)$^{2}$·$x^{2n + 4}$÷$x^{n}$=$x^{2n + 5}$，
　　所以$x^{6n - 4}$·$x^{2n + 4}$÷$x^{n}$=$x^{8n}$÷$x^{n}$=$x^{7n}$=$x^{2n + 5}$，
　　所以 7n=2n + 5，所以 n=1。