《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例题讲解二
例 ★★★[一题多解]如图①，AB//CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD。试说明：BC = AB + CD。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：BC，AB，CD 不在同一条直线上，要说明 BC = AB + CD，需将 BC 拆成两条线段，说明这两条线段分别等于 AB，CD；或将 BA 延长，使其等于 BC，再说明延长部分的线段等于 CD。
解法 1(截长法)：如图②，在 BC 上截取 BF = BA，连接 EF。
因为 BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△ABE 和△FBE 中，因为 BA = BF，∠1 = ∠2，BE = BE，
所以△ABE≌△FBE(SAS)。所以∠A = ∠5。
因为 AB//CD，所以∠A + ∠D = 180°。因为∠5 + ∠6 = 180°，所以∠6 = ∠D。
在△EFC 和△EDC 中，因为∠6 = ∠D，∠3 = ∠4，CE = CE，
所以△EFC≌△EDC(AAS)。所以 CF = CD。所以 BC = BF + CF = AB + CD。
解法 2(补短法)：如图③，延长 BA 至点 F，使 BF = BC，连接 EF。

因为 BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。
在△BEF 和△BEC 中，因为 BF = BC，∠1 = ∠2，BE = BE，
所以△BEF≌△BEC(SAS)。所以∠F = ∠3 = ∠4，EF = EC。
因为 AB//CD，所以∠5 = ∠D。
在△AEF 和△DEC 中，因为∠5 = ∠D，∠F = ∠4，EF = EC，
所以△AEF≌△DEC(AAS)。所以 AF = DC。所以 BC = BF = AB + AF = AB + CD。

答案：