《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型五 利用轴对称的性质解决折叠问题
例10 ★[转化思想]如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A'处，折痕为BC；再将长方形纸片的另一角也折叠，使顶点D落在点D'处，点D'在BA'的延长线上，折痕为BE。
(1)若∠ABC = 60°，求∠CBE的度数；
(2)改变∠ABC的大小(点A'始终落在长方形内)，∠CBE的大小是否改变？为什么？

思路分析

解：(1)因为△A'BC由△ABC翻折而成，△D'BE由△DBE翻折而成，所以∠A'BC = ∠ABC = 60°，∠D'BE = ∠DBE = 1/2(180°-∠ABC-∠A'BC)=1/2×60° = 30°，所以∠CBE = ∠A'BC+∠D'BE = 60°+30° = 90°。
(2)∠CBE的大小不改变。理由如下：由翻折可知，∠A'BC=∠ABC，∠D'BE=∠DBE，所以∠CBE = ∠A'BC+∠D'BE = 1/2∠ABD'+1/2∠DBD'=1/2(∠ABD'+∠DBD')=1/2×180° = 90°。
知识点睛 折叠是轴对称变换最常见的形式，折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对称，利用轴对称的性质即可解决相关问题。折痕所在的直线就是对称轴。

答案：

10 - 1 ★如图，将△ABC沿MN折叠，顶点A恰好落在边BC的中点D处。若AB = 9，BC = 6，则△DNB的周长为( )
A.12 B.13 C.14 D.15

答案： A

10 - 2 ★如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示的方式折叠，点B,C均落于边BC上一点G处，线段MN,EF为折痕。若∠A = 94°，则∠MGE的度数为________。

答案： 94° [解析]由折叠得∠B=∠MGB，∠C=∠EGC。因为∠A=94°，所以∠B + ∠C=180° - ∠A=86°，所以∠MGB + ∠EGC=∠B + ∠C=86°，所以∠MGE=180° - (∠MGB + ∠EGC)=180° - 86°=94°。

10 - 3 ★★如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A恰好与顶点C重合，点D落在点G处。
(1)试说明：△FGC≌△EBC；
(2)若AB = 8，AD = 4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积。

答案： 解:
(1)由题意可知AD=BC，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°。根据折叠的性质,得CG=AD，∠G=∠D，∠GCE=∠A。所以CG=BC，∠G=∠B，∠GCE=∠BCD。所以∠GCE - ∠ECF=∠BCD - ∠ECF，即∠GCF=∠BCE。在△FGC和△EBC中,因为∠G=∠B，GC=BC，∠GCF=∠BCE，所以△FGC≌△EBC(ASA)。
(2)因为△FGC≌△EBC，所以GF=BE。由折叠可知DF=GF，S_{四边形ECGF}=S_{四边形EADF}，所以DF=BE。所以S_{四边形ECGF}=S_{四边形EADF}=$\frac{1}{2}$(AE + DF)·AD=$\frac{1}{2}$(AE + BE)·AD=$\frac{1}{2}$AB·AD=$\frac{1}{2}$×8×4=16。