《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

6 - 2 如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E。试说明：∠ABE=∠CDE。

答案：
解：如图，连接AE，CE。因为AC，BD的垂直平分线相交于点E，所以AE = CE，BE = DE。在△ABE和△CDE中，因为AB = CD，AE = CE，BE = DE，
　　　　　　　　　　　　　　　所以△ABE≌△CDE(SSS)。所以∠ABE = ∠CDE。

例7 如图，在△ABC中，∠ACB=90°。
(1)在AB边上求作点D，使得DA=DC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中，连接DC，试说明：∠ADC=2∠B。
　　　　　
思路分析
(1) DA=DC→点D在线段AC的垂直平分线上→点D为线段AC的垂直平分线与AB的交点
(2)利用等腰三角形的“三线合一”的性质说明即可。
解：(1)如图，点D即为所求作的点。
(2)如图，由(1)得DE⊥AC，
所以∠AED=90°。
因为∠ACB=90°，
所以∠AED=∠ACB，
所以DE//BC，所以∠ADE=∠B。
因为DA=DC，DE⊥AC，
所以∠ADC=2∠ADE，
所以∠ADC=2∠B。

答案：

7 - 1 如图，已知射线AD平分∠BAC。
(1)请用尺规作出BC的垂直平分线，分别交AD，BC于点P，Q；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中，若∠B=30°，∠C =50°，求∠DPQ的度数。

答案：
解：
(1)如图所示。
　　　　　　　　　
(2)因为∠B = 30°，∠C = 50°，所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 100°。因为AD平分∠BAC，所以∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 50°。所以∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 180° - 50° - 50° = 80°。所以∠PDQ = ∠ADC = 80°。因为PQ垂直平分BC，所以∠PQD = 90°，所以∠DPQ = 180° - ∠PQD - ∠PDQ = 180° - 90° - 80° = 10°。

7 - 2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC上一点，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E。
(1)实践与操作：过点A作BD的垂线，交BD于点F；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)猜想与说明：在(1)的条件下，试猜想线段BF与CE的数量关系，并说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图，AF即为所求作。
　　　　　　　　　
(2)BF = CE。理由如下：因为AF⊥BD，CE⊥BE，所以∠AFB = ∠BEC = 90°。所以∠ABF + ∠BAF = 90°。因为∠ABC = 90°，所以∠ABF + ∠CBE = 90°。所以∠BAF = ∠CBE。在△ABF和△BCE中，因为∠AFB = ∠BEC，∠BAF = ∠CBE，AB = BC，所以△ABF≌△BCE(AAS)。所以BF = CE。