《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

变式题 [图形变式][泰安中考]如图，直线l//m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上。若∠ABE = 21°，则∠ACD的度数是( )

A.45°
B.39°
C.29°
D.21°

答案： B

题型一 利用等腰(边)三角形的性质求角度
例3 [方程思想]如图，在△ABC中，D为边AB上一点，且AD=CD=BC，∠ACB=75°，求∠DCB的度数。
　　　　　　　
思路分析

解：因为AD=CD=BC， 等边对等角。
所以∠DCA=∠A，∠B=∠CDB。
设∠DCA=∠A=x°，则∠B=∠CDB=180°-∠ADC=∠A+∠DCA=2x°。
因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=75°，
所以x+2x+75=180，解得x=35。
所以∠DCA=∠A=35°，
所以∠DCB=∠ACB-∠DCA=75°-35°=40°。
解题策略 利用等腰三角形的两个底角相等求角度，常常结合三角形的内角和等于180°列方程解答。

答案：

3 - 1 如图，在△ABC中，AC=BC，点D和点E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接DE，过点A作GH//DE。若∠C=40°，则∠GAD的度数为( )
A.40° B.45° C.55° D.70°
　　　

答案： 3-1 C 【解析】因为$AC = BC$，$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle BAC = \angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=70^{\circ}$。因为$AD = AE$，所以$\angle ADE = \angle AED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=55^{\circ}$。因为$GH// DE$，所以$\angle GAD=\angle ADE = 55^{\circ}$。故选 C。

3 - 2 [揭阳期末]如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，BC=BD=AD，则∠A的度数是( )
A.72° B.54° C.38° D.36°
　　　

答案： 3-2 D 【解析】因为$BC = BD = AD$，所以$\angle A = \angle ABD$，$\angle C=\angle BDC$。设$\angle A = \angle ABD = x^{\circ}$。因为$\angle A+\angle ABD+\angle ADB=\angle ADB+\angle BDC = 180^{\circ}$，所以$\angle BDC = \angle A+\angle ABD = 2x^{\circ}$，则$\angle C = 2x^{\circ}$。又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle C = 2x^{\circ}$。在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，即$x + 2x+2x = 180$，解得$x = 36$。所以$\angle A = 36^{\circ}$。故选 D。

3 - 3 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，且BD=BE，则∠ADE的度数为________。
　　

答案： 3-3 $15^{\circ}$ 【解析】因为$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=30^{\circ}$。因为$AD$是边$BC$上的中线，所以$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。因为$BD = BE$，所以$\angle BDE = \angle BED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=75^{\circ}$。所以$\angle ADE=\angle ADB-\angle BDE = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。

3 - 4 如图，△ABC是等边三角形，BC=BD，∠BAD=20°，则∠BCD的度数为________。
　　　　　　　

答案： 3-4 $50^{\circ}$