《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

4-3 如图，若直线a//b，则∠α的度数为 ______。

答案： 64°

4-4 图①为天文小组观察到的北斗七星图，绘制位置图时将北斗七星：摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为点A，B，C，D，E，F，G，并连接AB，BC，CD，DE，EF，FG。绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线AH与天玑、天璇所在的直线EF几乎平行(如图②)(因为距离地球很远，看作平行)。若∠HBC = 36°，∠BCD = 168°，∠DEF = 103°，求∠CDE的度数。

答案：
解:如图②,过点C作CM//AH,过点D作DN//AH,所以∠BCM+∠HBC = 180°,CM//DN。

所以∠BCM = 180° - ∠HBC = 180° - 36° = 144°,∠CDN = ∠DCM。所以∠CDN = ∠DCM = ∠BCD - ∠BCM = 168° - 144° = 24°。因为AH//EF,所以DN//EF,所以∠NDE = ∠DEF = 103°。所以∠CDE = ∠CDN+∠NDE = 24°+103° = 127°。

例5 小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
(1)【特例探究】如图①，已知AB//CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，若∠B = 20°，∠D = 30°，则∠BED的度数为 __________；
(2)【类比迁移】如图②，已知AB//CD，E为AB，CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，若∠BED = α，请用含α的式子表示∠BFD；
(3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图③，已知AB//CD，点E的位置移到AB上方，点F在EB的延长线上，∠ABF与∠CDE的平分线相交于点G，请猜想∠BGD与∠BED之间的数量关系，并说明理由。

思路分析


解：(1)50° 【解析】如图①，过点E作EF//AB，所以∠BEF = ∠B = 20°。因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DEF = ∠D = 30°，所以∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 20° + 30° = 50°。

(2)如图②，过点E作EG//AB。
因为AB//CD，所以EG//AB//CD，
所以∠ABE + ∠BEG = 180°，∠GED + ∠CDE = 180°，
所以∠ABE + ∠BEG + ∠GED + ∠CDE = ∠ABE + ∠BED + ∠CDE = 360°。
因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，
所以∠ABE = 2∠ABF，∠CDE = 2∠CDF。
同(1)可得∠BFD = ∠ABF + ∠CDF，
所以∠ABE + ∠BED + ∠CDE = 2∠ABF + ∠BED + 2∠CDF = ∠BED + 2∠BFD = 360°，
即α + 2∠BFD = 360°，所以∠BFD = 180° - $\frac{1}{2}$α。
(3)∠BED + 180° = 2∠BGD。理由如下：
如图③，过点E作EM//AB。
因为AB//CD，所以AB//EM//CD，所以∠MEF = ∠ABE，∠CDE = ∠DEM。
同(1)可知∠BGD = ∠ABG + ∠CDG。
因为∠ABF与∠CDE的平分线相交于点G，
所以∠ABF = 2∠ABG，∠CDE = 2∠CDG，
所以∠ABF + ∠CDE = 2∠ABG + 2∠CDG = 2∠BGD。
所以∠BED = ∠DEM - ∠MEF = ∠CDE - ∠ABE = ∠CDE - (180° - ∠ABF) = ∠CDE + ∠ABF - 180° = 2∠BGD - 180°，即∠BED + 180° = 2∠BGD。

答案：