《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

1.★★☆在学习相交线与平行线一章时，李磊学习了垂直的定义，并仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是60°，就称两条直线互为完美交线，交点叫作完美点。已知直线AB，CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠COE的度数为__________。

答案：
30°或150° [解析]如图①,因为直线AB,CD互为完美交线,所以∠BOC = 60°。因为OE⊥AB,所以∠BOE = 90°,所以∠COE = ∠BOE - ∠BOC = 90° - 60° = 30°;
如图②,因为直线AB,CD互为完美交线,所以∠BOC = 60°。因为OE⊥AB,所以∠BOE = 90°,所以∠COE = ∠BOE + ∠BOC = 90° + 60° = 150°。
综上所述,∠COE的度数为30°或150°。

2.★★☆对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k(k＞0)，使得∠M + k∠N = 360°，则称∠N为∠M的k系补周角。如：若∠M = 90°，∠N = 45°，则∠N为∠M的6系补周角。如图，在平面内，AB//CD，E是AB，CD之间一点，连接BE，DE。若∠D = 60°，∠B是∠BED的5系补周角，则∠BED的度数为____________。

答案：
110° [解析]如图,过点E作EF//AB。因为AB//CD,所以AB//CD//EF,则∠B = ∠BEF,∠DEF = ∠D = 60°。因为∠B是∠BED的5系补周角,所以∠BED + 5∠B = 360°。所以∠BEF + ∠DEF + 5∠B = 360°。所以6∠B + 60° = 360°。所以∠B = 50°。所以∠BED = 360° - 5∠B = 110°。

3.★★☆我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质，涉及同位角、内错角、同旁内角。如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”。试完成下面的探究问题：
(1)如图①，请另找出一对“外错角”：__________________。
(2)猜想判定：外错角相等，两直线平行。如图②，∠1与∠2是直线a，b被直线c截出的一对外错角，且∠1 = ∠2，试说明：a//b。

答案： 解:
(1)∠2与∠7
(2)因为∠1 = ∠3(对顶角相等),∠1 = ∠2(已知),
所以∠2 = ∠3(等量代换),
所以a//b(同位角相等,两直线平行)。

4.★★☆【教材回顾】如下是北师版七年级下册教材第44页，关于同旁内角的定义。

【类比探究】
(1)如图①，具有∠1与∠2这样位置关系的两个角叫作同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
(2)如图②，直线a//b，当∠1 = 125°时，求∠1的同旁外角∠2的度数；
(3)如图③，已知∠1 + ∠2 = 180°，试说明直线a//b，并用文字叙述由此你能得出的结论。

答案：
解:
(1)如图①,∠3与∠4互为同旁外角。

(2)如图②,因为直线a//b,所以∠3 + ∠4 = 180°。
又因为∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,所以∠1 + ∠2 = 180°。
因为∠1 = 125°,所以∠2 = 180° - ∠1 = 55°。
(3)如图③,因为∠1 + ∠2 = 180°,∠1 + ∠3 = 180°,
所以∠2 = ∠3,所以a//b。
结论:同旁外角互补,两直线平行。