《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

5-1 (1)【问题解决】如图①，已知AB//CD，∠BEP = 36°，∠CFP = 152°，求∠EPF的度数。
(2)【问题迁移】如图②，若AB//CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由。
(3)【联想拓展】如图③，在(2)的条件下，已知∠EPF = α，∠PEA和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数(结果用含α的式子表示)。

答案：
解:
(1)如图①,过点P作PG//AB,则∠EPG = ∠BEP = 36°。因为AB//CD,所以GP//CD,所以∠FPG+∠CFP = 180°。所以∠FPG = 180° - ∠CFP = 180° - 152° = 28°,所以∠EPF = ∠EPG+∠FPG = 64°。

(2)∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。理由如下:如图②,过点P作PG//AB,所以∠EPG = ∠PEA。因为AB//CD,所以PG//CD,所以∠PFC = ∠FPG。因为∠EPF = ∠FPG - ∠EPG,所以∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。
(3)因为FG平分∠PFC,EG平分∠PEA,所以∠GFC = $\frac{1}{2}$∠PFC,∠GEA = $\frac{1}{2}$∠PEA。同
(2)可得∠G = ∠GFC - ∠GEA。因为∠EPF = ∠PFC - ∠PEA = α,所以∠G = ∠GFC - ∠GEA = $\frac{1}{2}$∠PFC - $\frac{1}{2}$∠PEA = $\frac{1}{2}$(∠PFC - ∠PEA) = $\frac{1}{2}$α。

5-2 已知AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，点O在AB，CD之间，O，B，D三点均在直线EF的同侧。
(1)如图①，试说明：∠EOF = ∠BEO + ∠DFO；
(2)如图②，若OE⊥OF，EG，FG分别平分∠BEO和∠DFO，求∠G的度数；
(3)如图③，若∠EOF = 100°，EM平分∠BEO交FO的延长线于点M，FN平分∠DFO交EO的延长线于点N，求∠M + ∠N的度数。

答案：
解:
(1)如图①,过点O作OP//AB,则∠EOP = ∠BEO。因为AB//CD,

所以OP//CD,所以∠FOP = ∠DFO。所以∠EOF = ∠EOP+∠FOP = ∠BEO+∠DFO。
(2)因为OE⊥OF,所以∠EOF = 90°。同
(1)可得∠EOF = ∠BEO+∠DFO = 90°,∠G = ∠BEG+∠DFG。因为EG,FG分别平分∠BEO和∠DFO,所以∠BEG = $\frac{1}{2}$∠BEO,∠DFG = $\frac{1}{2}$∠DFO。所以∠G = ∠BEG+∠DFG = $\frac{1}{2}$(∠BEO+∠DFO) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(3)同
(1)可得∠EOF = ∠BEO+∠DFO = 100°,∠M = ∠BEM+∠DFO,∠N = ∠BEO+∠DFN。因为EM平分∠BEO,FN平分∠DFO,所以∠BEM = $\frac{1}{2}$∠BEO,∠DFN = $\frac{1}{2}$∠DFO。所以∠M+∠N = ∠BEM+∠DFO+∠BEO+∠DFN = $\frac{1}{2}$∠BEO+∠DFO+∠BEO+$\frac{1}{2}$∠DFO = $\frac{3}{2}$(∠BEO+∠DFO) = $\frac{3}{2}$×100° = 150°。