《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型五 利用整式的除法解决“看错”问题
例8 ★★☆ 已知A是一个多项式，单项式B等于2x，某同学计算A÷B时，把A÷B误写成A + B，得到结果5x⁴ - 4x³ + 3x²，求A÷B。
思路分析

解：根据题意，得A + B = 5x⁴ - 4x³ + 3x²。
因为B = 2x，所以A = 5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x。
所以A÷B = (5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x)÷2x = $\frac{5}{2}$x³ - 2x² + $\frac{3}{2}$x - 1。
技巧点拨 先按错误的运算求出未知的式子，再根据正确的运算求出正确结果。

答案：

8 - 1 ★★☆ 小明在做一个多项式除以$\frac{1}{2}$a的题目时，由于粗心误以为是乘$\frac{1}{2}$a，得到的结果是8a⁴b - 4a³ + 2a²，你知道正确的结果是多少吗？

答案： 解：根据题意，得原多项式为 (8a⁴b - 4a³ + 2a²)÷$\frac{1}{2}a$ = 16a³b - 8a² + 4a，则正确的结果是 (16a³b - 8a² + 4a)÷$\frac{1}{2}a$ = 32a²b - 16a + 8。

题型六 利用整式的除法解决实际问题
例9 ★★☆[数学建模思想]某中学新建了一栋科技楼，现计划用每块长为$\frac{1}{8}$x⁴m，宽为y³m的塑料扣板给该楼的一间陈列室的顶棚装修。已知这间陈列室顶棚的长为$\frac{1}{2}$x⁴y⁴m，宽为x³y m。如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块塑料扣板？当x = 2，y = 1时，求出具体的扣板数。
解：($\frac{1}{2}$x⁴y⁴·x³y)÷($\frac{1}{8}$x⁴·y³) = $\frac{1}{2}$x⁷y⁵÷$\frac{1}{8}$x⁴y³ = 4x³y²。
所以应该至少购买4x³y²块塑料扣板。
当x = 2，y = 1时，4x³y² = 4×2³×1² = 32。
所以具体的扣板数为32。
解题策略 根据题意列算式，利用单项式除以单项式的知识计算出结果。

答案：

9 - 1 ★★☆[生活情境·自助饮料]某自助餐厅的饮料供应容器是一个如图所示的底面半径为10a cm，高度为b³ cm的圆柱体。若餐厅提供的水杯的容积都是6a²b³ cm³，在每杯都接满的情况下，这样一桶饮料大约可以接________杯(π取3)。

答案： 50 【解析】[π·(10a)²·b³]÷6a²b³ = (π·100a²·b³)÷6a²b³ = 100πa²b³÷6a²b³ = $\frac{50}{3}π = \frac{50}{3}×3 = 50$（杯）。所以这样一桶饮料大约可以接 50 杯。

9 - 2 ★★☆ 重庆长江隧道是我国第一条穿江高铁隧道，也是全国最长的水下高铁隧道。现有一段高铁隧道掘进工程，由甲、乙两种隧道挖掘机合作完成需要xy天，已知甲、乙挖掘机每天分别可挖掘x²y m和2x m，若采用甲挖掘机单独完成这段工程，需要________天。

答案： (xy + 2) 【解析】这段工程总长为 xy(x²y + 2x) = (x³y² + 2x²y)m，采用甲挖掘机单独完成这段工程需要 (x³y² + 2x²y)÷x²y = (xy + 2)天。