《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例4 [方程思想]已知$6a^{n + 1}b^{n + 2}$与$-3a^{2m - 1}b$的积与$2a^{5}b^{6}$是同类项，求$m$，$n$的值。
思路分析
条件 $6a^{n + 1}b^{n + 2}$与$-3a^{2m - 1}b$的积与$2a^{5}b^{6}$是同类项
易知 $a^{n + 1}\cdot a^{2m - 1}=a^{5}$ ， $b^{n + 2}\cdot b=b^{6}$
列方程 $n + 1 + 2m - 1 = 5$ ， $n + 2 + 1 = 6$
解：$6a^{n + 1}b^{n + 2}\cdot (-3a^{2m - 1}b)$
$=[6\times (-3)]\cdot (a^{n + 1}a^{2m - 1})\cdot (b^{n + 2}b)$
$=-18a^{2m + n}b^{n + 3}$。
依题意可知$-18a^{2m + n}b^{n + 3}$与$2a^{5}b^{6}$是同类项，
所以$2m + n = 5$，①
$n + 3 = 6$。②
由②解得$n = 3$。
把$n = 3$代入①，得$2m + 3 = 5$，解得$m = 1$。
故$m = 1$，$n = 3$。
解题策略 若两个单项式是同类项，则它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，可利用这个相等关系列方程求解。

答案：

4 - 1 已知$3x^{2}y^{3}\cdot (-5x^{2}y^{2}) = mx^{4}y^{n}$，求$m - n$的值。

答案： 解：$3x^{2}y^{3}\cdot(-5x^{2}y^{2})=-15x^{4}y^{5}$。
因为$3x^{2}y^{3}\cdot(-5x^{2}y^{2})=mx^{4}y^{n}$，
所以$-15x^{4}y^{5}=mx^{4}y^{n}$，所以$m = - 15$，$n = 5$，
所以$m - n=-15 - 5=-20$。

4 - 2 若单项式$9a^{m + 1}b^{n + 1}$与$-2a^{2m - 1}b^{2n - 1}$的积与$5a^{3}b^{6}$是同类项，求$m^{n}$的值。

答案： 解：$9a^{m + 1}b^{n + 1}\cdot(-2a^{2m - 1}b^{3n - 1})=-18a^{3m}b^{3n}$。
依题意可知$-18a^{3m}b^{3n}$与$5a^{3}b^{6}$是同类项，
所以$3m = 3$，$3n = 6$，所以$m = 1$，$n = 2$，所以$m^{n}=1^{2}=1$。

例5 一个长方形工件相邻的两边长分别为$4m^{2}n$和$3mn^{2}$(其中$m$，$n$均为正数)，则它的面积是( )
A.$7m^{2}n^{2}$
B.$6m^{2}n^{2}$
C.$12m^{3}n^{3}$
D.$6m^{3}n^{3}$
解析：长方形工件的面积为$4m^{2}n\cdot 3mn^{2}=12m^{3}n^{3}$。
答案：C

答案：

5 - 1 [生活情境·WiFi密码][郑州二七区期末改编]如图，王老师把家里的WiFi密码设置成了数学问题。小明同学来王老师家做客，看到WiFi图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么他输入的密码是__________。
账号：wanghaoyang
王⊕[$x^{13}yz^{4}$]=wang1314
浩⊕[$xy^{15}\cdot x^{2}z^{20}$]=hao31520
阳⊕[$(x^{2}y)^{4}\cdot (y^{2}z^{44})^{2}$]=密码

答案： yang8888