《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型二 利用等腰(边)三角形的性质进行推理
例4 如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M。试说明：CM=DM。
　　　　　　
思路分析
连接AC，AD。

解：如图，连接AC，AD。
在△ABC和△AED中，
因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，
所以△ABC≌△AED(SAS)。
所以AC=AD。
因为AM⊥CD，
所以CM=DM。
解题策略 “叠合”等腰三角形的辅助线作法：
　　

答案：

4 - 1 如图，在△ABC中，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE。试说明：BD=CE。

答案：
4-1 解：如图，过点$A$作$AF\perp BC$于点$F$。
因为$AB = AC$，$AF\perp BC$，所以$BF = CF$。
因为$AD = AE$，$AF\perp BC$，所以$DF = EF$。
所以$BF - DF = CF - EF$，即$BD = CE$。

4 - 2 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F。
(1)试说明：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数。

答案： 4-2 解：
(1)因为$\triangle ABC$为等边三角形，
所以$\angle BAE = \angle C = 60^{\circ}$，$AB = CA$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，
因为$AB = CA$，$\angle BAE = \angle C$，$AE = CD$，
所以$\triangle ABE\cong\triangle CAD(SAS)$。
(2)因为$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，所以$\angle ABE = \angle CAD$。
所以$\angle BFD = 180^{\circ}-\angle AFB=\angle ABE+\angle BAD=\angle CAD+\angle BAD=\angle BAC = 60^{\circ}$。

4 - 3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF//BC，且AF，EF相交于点F。试说明：
(1)∠C=∠BAD；
(2)AC=EF。
　　　　　　　　　

答案： 4-3 解：
(1)因为$AB = AE$，$D$为线段$BE$的中点，
所以$AD\perp BC$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。所以$\angle C+\angle DAC = 90^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle DAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle C = \angle BAD$。
(2)因为$AF// BC$，所以$\angle FAE = \angle AEB$。
因为$AB = AE$，所以$\angle B = \angle AEB$，所以$\angle B = \angle FAE$。
因为$EF\perp AE$，所以$\angle AEF = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAC = \angle AEF = 90^{\circ}$。
又因为$AB = EA$，所以$\triangle ABC\cong\triangle EAF(ASA)$。
所以$AC = EF$。

题型三 等腰三角形中的分类讨论
例5 [分类讨论思想]已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数。
思路分析
分三种情况讨论
顶角为锐角
顶角为钝角 求出顶角 求底角
顶角为直角
解：分三种情况讨论： 题目没有图形时，要考虑是否存在多种情况。
①当顶角为锐角时，如图①。
因为BD⊥AC，
所以∠A+∠ABD=90°。
因为∠ABD=50°，
所以∠A=90°-∠ABD=40°。
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=70°。
　　
②当顶角为钝角时，如图②。
同(1)可得∠DAB=90°-∠ABD=40°，
所以∠BAC=180°-∠DAB=140°。
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=20°。
③当顶角为直角时，一腰上的高与另一腰重合，故此种情况不存在。
综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°。

答案：